PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решение. Сделаем замену 
тогда система принимает вид
Таким образом, решением системы является пара 
при 
и пара 
при 
Исследуем систему
на количество решений. Каждое решение системы соответствует решению уравнения 
Рассмотрим функцию 
Найдем производную: 
Функция f имеет максимум в точке 
и минимум в точке 
Отсюда, учитывая характер монотонности, заключаем, что уравнение 
имеет единственное решение при 
или при 
Так как 
достаточно рассмотреть только второе условие: 
Осталось заметить, что при 
решений более одного, так как при таких a решения те же, что и при 
Ответ:
Приведем решение Виктора Кошелева.
Перепишем систему в виде
Рассмотрим три случая.
Случай 1: 
Правая часть второго уравнения полученной системы отрицательна:
а левая — неотрицательна:
Поэтому уравнение, а вместе с ним и вся система, не имеют решений.
Случай 2: 
Получаем систему:
Положим 
найдем производную этой функции: 
Найденная производная равна нулю и меняет знаки точках 
Найдем экстремумы функции:
Значит, на луче 
функция f(x) возрастает, принимая значения от –∞ до 22; на отрезке [−2; 2] функция убывает, принимая значения от −10 до 22; на луче 
функция f(x) возрастает, принимая значения от −10 до +∞. Таким образом, в рассматриваемом случае 
и при таких значениях параметра система имеет 3 решения.
Случай 3: 
В этом случае имеем:
Итак, в рассматриваемом случае 
Положим 
найдем производную: 
Точками экстремума являются 
найдем экстремумы:
Поскольку 
то и 
Следовательно, количество решений системы зависит от знака выражения g(2). При 
имеется 3 решения, при 
— 
—
Объединяя три рассмотренных случая, получаем, что исходная система имеет единственное решение при 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |