PDF-версии: 
Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. 
a) Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если 
a 
Решение. а) Пусть точка M1 делит ребро AD в отношении
тогда
BC = M1D = MD1 = B1C1 = 4
и многогранник M1BCDMB1C1D1 — параллелепипед. Пусть плоскость MCK пересекает ребро BB1 в некоторой точке N. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, поэтому параллельны прямые KM и CN, по которым эти грани пересечены плоскостью сечения. Отрезки KM и CN равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями. Следовательно, прямоугольные треугольники CNB и MKD1 равны по катету и гипотенузе: BC = MD1 и CN = MK. Тогда
а значит, точка N — середина ребра BB1. Это и требовалось доказать.
б) Построим сечение призмы плоскостью MKC. В плоскости ADD1 продлим прямую MK до пересечения с прямой AA1. Точку их пересечения обозначим E. В плоскости ABB1 точку пересечения прямой EN и ребра A1B1 обозначим L. Пятиугольник CKMLN является искомым сечением.
Найдем длину боковой стороны трапеции ABCD:
Высота трапеции 
отрезок 
Прямая CH перпендикулярна прямым AD и DD1, а потому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости высота CH трапеции ABCD является перпендикуляром к плоскости ADD1. Прямая MK перпендикулярна наклонной CK по условию, тогда по теореме о трёх перпендикулярах проекция HK также перпендикулярна прямой MK. Получаем, что:
Тогда прямоугольные треугольники HKD и KMD подобны и
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников MKD1 и CDK находим, что
Прямоугольные треугольники MKD1 и MEA1 подобны по двум углам: углы KMD1 и EMA1 равны как вертикальные. Прямоугольные треугольники LNB1 и LEA1 также подобны. Из подобий получаем:
тогда 
Заметим, что параллелограмм CKMN является прямоугольником, и вычислим площадь сечения:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |