РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 642792 Добавить в вариант

Источники:

Задания 14 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Разные города.

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Разложение на множители

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в кубе минус 2x в квадрате минус 4x плюс 8 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,04 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 .$

Решение. В левой части неравенства выражение, стоящее под знаком логарифма, разложим на множители:

$x в кубе минус 2x в квадрате минус 4x плюс 8 =x левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,$ $x в кубе минус 2x в квадрате минус 4x плюс 8 =x левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,$

поэтому неравенство можно записать в виде

$логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,04 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений x не равно 2, логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x не равно 2,x плюс 2 больше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений x не равно 2,x больше или равно минус 1. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,04 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений x не равно 2, логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x не равно 2,x плюс 2 больше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений x не равно 2,x больше или равно минус 1. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,04 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно система выражений x не равно 2, логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 2,x плюс 2 больше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений x не равно 2,x больше или равно минус 1. конец системы .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Примечание: переход (⁎) равносилен по правилу 1,

Справедлива равносильность

$логарифм по основанию a x в квадрате y меньше или равно z равносильно логарифм по основанию a x в квадрате плюс логарифм по основанию a y меньше или равно z.$

Вследствие неотрицательности одного из множителей в выражении, стоящем под знаком логарифма (в данном случае  $x в квадрате$ ), при данном преобразовании не происходит изменения ОДЗ неравенства.

Область допустимых значений обоих неравенств: $система выражений x не равно 0, y больше 0. конец системы .$

Правило

переход (⁎⁎) равносилен по правилу 2.

Справедлива равносильность

$логарифм по основанию a x плюс логарифм по основанию a y меньше или равно логарифм по основанию a x плюс логарифм по основанию a z равносильно система выражений логарифм по основанию a y меньше или равно логарифм по основанию a z, x больше 0. конец системы .$

При вычитании из обеих частей неравенства равных слагаемых  $левая круглая скобка логарифм по основанию a x правая круглая скобка$ для сохранения равносильности достаточно учесть ОДЗ "исчезающего" слагаемого

Правило

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

642792

$левая квадратная скобка минус 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источники:

Задания 14 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Разные города.

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642792	$левая квадратная скобка минус 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$