Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
В системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой 
и дуги окружности радиуса 2 с центром в точке 
лежащей не ниже прямой (выделено оранжевым). Графиком второго уравнения исходной системы 
является пучок прямых, проходящих через точку 
Окружность 
и прямая пересекаются в точках 
и 
Пусть при 
прямая касается окружности в точке A, при 
— в точке D, при 
прямая проходит через точку B, при 
— через точку С. Тогда исходная система
— при 
имеет одно решение;
— при 
не имеет решений;
— при 
имеет одно решение;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения;
— при 
— два решения;
— при 
— одно решение.
Найдём значения a1, a2, a3 и a4.
Подставим координаты точки B:
Подставим координаты точки C:
Значения a1 и a4 найдём из геометрических соображений. Квадраты отрезков касательных равны произведению отрезков секущих
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |