РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 642952 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 401 (часть 2)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

a)  Решите уравнение $2 синус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x = корень из 3 .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$2 синус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x = корень из 3 равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x = корень из 3 равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x=0 равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x = корень из 3 равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x=0 равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x = корень из 3 равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка$ с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

642952

а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 401 (часть 2)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642952	а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи .$