РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя).

а)  Может ли быть верным равенство A  =  B + C, если A < 150?

б)  Может ли быть верным равенство A  =  B + C, если числа B и C делятся на 3?

в)  Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A  =  B + C.

Решение. а)  Да, например $109 = 90 плюс 19.$

б)  Сразу заметим, что

$A = B плюс C меньше или равно 99 плюс 99 = 198,$

поэтому A начинается с цифры 1. Далее, если B и C кратны 3, то и их сумма A кратна 3. Делимость на 3 определяется суммой цифр числа (она должна быть кратна трем), поэтому убирать из A единицу нельзя (от этого остаток от деления на 3 изменится). Значит, и B и C содержат в записи единицу. Тогда вторая их цифра должна быть 2, 5 или 8. Если в числе A были бы две такие цифры, то их сумма с единицей давала бы остаток 2 от деления на 3. Значит, там одна такая цифра, а B и C состоят из одних и тех же двух цифр, одна из которых единица. Осталось разобрать варианты:

—  не трехзначные:

$12 плюс 12,$ $12 плюс 21,$ $21 плюс 21,$ $15 плюс 15,$ $15 плюс 51,$ $18 плюс 18,$ $18 плюс 81;$

—  не содержат нужных цифр: $51 плюс 51 = 102$ и $81 плюс 81 = 162.$

в)  Заметим, что $98 плюс 91 = 189.$ Докажем, что это наилучший пример. Если хоть одно из чисел B и C меньше 90, то

$A = B плюс C меньше или равно 99 плюс 90 = 189,$

поэтому такие примеры рассматривать не нужно.

Если же они оба начинаются с девятки, то $B=90 плюс b,$ $C=90 плюс c$ и $A = 180 плюс b плюс c,$ где b и c  — цифры. Поскольку $A больше или равно 190,$ его последняя цифра равна $b плюс c минус 10.$ Ясно, что это не 9, поскольку

$b плюс c меньше или равно 9 плюс 9 = 18 больше 19,$

не b и не c (если например $b = b плюс c минус 10,$ то c  =  10). Значит, эта цифра в числах B и C не используется. Поэтому $B = C = 91,$ что тоже невозможно, так как $b плюс c меньше 10.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  189.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642958	а)  да; б)  нет; в)  189.

Ключ