PDF-версии: 
Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 4 и перпендикулярны друг другу. Плоскость α перпендикулярна ребру CD и пересекает рёбра AB и CD в точках K и M соответственно, причём 
а) Докажите, что K — середина ребра AB.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α.
Решение.
а) Пусть точка L — точка на ребре AD такая, что отрезок ML перпендикулярен ребру CD (рис. 1). Тогда точка L принадлежит плоскости α. В прямоугольном треугольнике MLD угол D равен 60°, поэтому
Плоскости α и ABD перпендикулярны плоскости ACD. Следовательно, прямая KL перпендикулярна плоскости ACD. В прямоугольном треугольнике LKA угол A равен 60°, поэтому
Значит, точка K — середина AB.
б) Из прямоугольных треугольников MLD и LKA находим: 
и 
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
Рассмотрим точку 
на ребре BD такую, что прямые BN и 
параллельны. Тогда
Следовательно,
и 
поэтому площадь треугольника EKN составляет
от площади треугольника ELM. Площадь прямоугольного треугольника ELM равна
Площадь сечения KLMN равна разности площадей треугольников ELM и EKN. Значит, эта площадь равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |