PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 13, BC = 5 и AA1 = 12.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
Решение. a) В треугольнике ADD1 имеем
В треугольнике AC1D1 стороны AD1 и C1D1 равны. Значит, этот треугольник равнобедренный, а его медиана D1M является его высотой. Следовательно, точка D1 лежит в плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой AC1, а такая плоскость единственная, и это плоскость α.
б) Обозначим точку пересечения плоскости α и прямой A1B1 через L. Поскольку плоскость α перпендикулярна прямой AC1, в треугольнике ALC1 медиана LM является высотой. Следовательно, AL = LC1.
Пусть 
тогда 
В прямоугольных треугольниках 
и C1B1L имеем
Таким образом, 
Ответ: 25 : 144.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |