Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. По свойству модуля первое уравнение системы не изменится, если x заменить на –x. Аналогично можно заменить y заменить на –y. Следовательно, график первого уравнения станет симметричен относительно осей Ox и Oy. Рассмотрим случай 
Пусть 
Снимая на этом промежутке знаки модулей, находим:
и уравнение принимает вид
Пусть 
и 
тогда первое уравнение системы принимает вид 
откуда 
что не подходит. Если же и 
то
Полученное уравнение задает окружность с центром (7; −1) и радиусом 10.
Изобразим полученные точки в первой четверти и отразим их относительно осей координат. Множество состоит из четырех дуг, двух отрезков и прямоугольника.
Второе уравнение системы задает пучок прямых, проходящих через (0; 8). Из построенного графика находим, что при 
система имеет четыре решения. При 
система имеет два различных решения, если прямая проходит выше касательной к дуге BC, но ниже прямой, проходящей через точку A.
Найдем значение a, соответствующее касательной. Уравнение 
должно иметь ровно один корень. Запишем его в виде
Найдем дискриминант уравнения:
Уравнение имеет ровно один корень при:
Так как по смыслу задачи 
то 
Таким образом, условию задачи удовлетворяет промежуток 
При 
аналогичными рассуждениями найдем подойдет промежуток 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |