РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 657008 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 461

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x плюс косинус 7 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x плюс косинус 9 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x плюс косинус 11 x конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac Пи правая круглая скобка 3 дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби ; 0,5 Пи логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac Пи правая круглая скобка 3 дробь: числитель: Пи в степени 7 , знаменатель: 2187 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x плюс косинус 7 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x плюс косинус 9 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x плюс косинус 11 x конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус 3x косинус 4x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус 4x косинус 5 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус 5x косинус 6x конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 4x, знаменатель: косинус 3x косинус 4x косинус 5x косинус 6x конец дроби = 0.$

При условии $косинус 3x \not=0,$ $косинус 4x \not=0,$ $косинус 5x \not=0,$ $косинус 6x \not=0$ уравнение равносильно следующим:

$косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x левая круглая скобка косинус 6x плюс косинус 4x правая круглая скобка = 0 равносильно косинус 5x косинус 6x плюс 2 косинус x косинус 3x косинус 5x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 6x плюс косинус 4x плюс косинус 2x = 0 равносильно 4 косинус в кубе 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x левая круглая скобка косинус 6x плюс косинус 4x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс 2 косинус x косинус 3x косинус 5x = 0 равносильно косинус 6x плюс косинус 4x плюс косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в кубе 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x левая круглая скобка косинус 6x плюс косинус 4x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс 2 косинус x косинус 3x косинус 5x = 0 равносильно косинус 6x плюс косинус 4x плюс косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в кубе 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x левая круглая скобка косинус 6x плюс косинус 4x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс 2 косинус x косинус 3x косинус 5x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 6x плюс косинус 4x плюс косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в кубе 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 6x плюс косинус 3x косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс косинус 3x левая круглая скобка косинус 6x плюс косинус 4x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно косинус 5x косинус 6x плюс 2 косинус x косинус 3x косинус 5x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 6x плюс косинус 4x плюс косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в кубе 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

Условиям удовлетворяет только вторая серия $x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,$ $k принадлежит Z .$

б)  Заметим, что указанный отрезок это $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Отберем корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят корни: $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

657008

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 461

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	657008	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$