PDF-версии: 
Дана правильная пирамида SABC с основанием ABC, точки K и M — середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на сторонах BC и SA соответственно расположены таким образом, что LA = 4SL и прямые
а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 
Решение. а) Прямые NL и MK пересекаются, поэтому они лежат в одной плоскости и, следовательно, точки K, L, M, N также лежат в одной плоскости и образуют сечение пирамиды KLMN. Прямая LK является прямой пересечения плоскостей KLM и SAB и не параллельна прямой BS. Пусть прямые LK и BS пересекаются в точке F. Точка F является точкой пересечения плоскости KLM с прямой BS. Заметим, что, таким образом, плоскость KLM не параллельна прямой BS. Прямая MN является прямой пересечения плоскостей KLM и SBC. MN лежит в KLM, поэтому пересекается с BS в общей точке прямой BS и плоскости KLM, то есть в точке F, следовательно, это общая точка трех прямых LK, MN и BS.
б) Рассмотрим треугольник SAB и прямую KF, по теореме Менелая:
Рассмотрим треугольник SBC и прямую NF, по теореме Менелая:
Ответ: б) 1 : 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |