PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8.
а) Докажите, что точка M — середина ребра B1C1.
б) Найдите угол между плоскостями KLM и ABC, если площадь трапеции KLMC равна 
Решение. а) Плоскость KLMC пересекает плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому прямые LM и KC — основания трапеции. Пусть прямые KL и MC пересекаются в точке P. Отрезок KL лежит в плоскости грани AA1BB1, поэтому точка P может лежать только на прямой пересечения этих граней, то есть на прямой BB1. Далее
значит, прямая LM — средняя линия треугольника KPC, то есть точка M — середина отрезка PC. Тогда равны треугольники PB1M и CC1M, а отрезки B1M и MC1 равны как соответствующие элементы.
б) Площадь трапеции равна 
где отрезок LH — высота трапеции. Имеем:
Треугольник PKC — равнобедренный, потому что 
значит, равны треугольники PBK и PBC, а тогда BK = BC и, аналогично, 
Пусть точка O — середина отрезка KC, тогда отрезок BO — медиана и высота прямоугольного равнобедренного треугольника BKC, откуда следует 
Угол POB равен углу между плоскостями KLM и ABC,
то есть искомый угол равен 45°.
Ответ: б) 45°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |