PDF-версии: 
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 1.
а) Докажите, что точка E равноудалена от прямых AD и AB.
б) Найдите отношение площадей треугольников ADE и BCE.
Решение. а) Из условия следует, что точка E равноудалена от прямых AD и AB, а также от прямых AB и BC. Следовательно, точка E равноудалена от прямых
б) Продлим лучи DA и CB до пересечения в точку K. Из пункта а) следует, что луч KE — биссектриса треугольника DKC. Проведем через точку E прямую PQ параллельно отрезку AB (P ∈ AD, Q ∈ KB). Тогда 
откуда следует равенство треугольников KPE и KCE и отрезков PE и CE как соответственных элементов. Аналогично равны треугольники DPE и QCE и отрезки DP и CQ. Заметим, что
то есть AP = PE и BQ = QE. Получаем, что
Пусть BC = 3x. По условию CD = 3x, из доказанного ранее AD = 2x. Заметим, что высоты треугольников ADE и BCE, проведенные из вершины E, равны из пункта а). Тогда 
Ответ: б) 2 : 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |