PDF-версии: 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, а на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4. Известно, что 
AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка.
б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью AA1B1.
Решение. а) Так как A1E : EA = 6 : 1 и AA1 = 14, получаем, что A1E = 12 и EA = 2. Так как B1F : FB = 3 : 4 и BB1 = 14, получаем, что B1F = 6 и FB = 8. Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости DAA1 и CBB1 по параллельным прямым, поэтому она пересекает ребро B1C1 в такой точке T, что прямая FT параллельна прямой ED1. Значит, треугольники EA1D1 и FB1T подобны, а поскольку EA1 = A1D1 = 12, получаем, что и FB1 = B1T = 6. Значит, TC1 = 6 и B1T : TC1 = 1 : 1.
б) Опустим перпендикуляр A1H из точки A1 на прямую EF пересечения плоскостей EFD1 и AA1B1. Угол A1HD1 будет искомым. Найдем A1H. Для этого проведем в трапеции EA1B1F высоту 
(из результатов пункта а) следует, что K — середина EA1). Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника EFA1, получим A1H · EF = A1E · FK, то есть
Тогда тангенс искомого угла равен
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |