PDF-версии: 
Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D. Известно, что угол DAB — прямой, ребро AD перпендикулярно медиане основания AK и AD = AK. Сечением пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобедренная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3 · GC.
а) Докажите, что AB = AC.
б) Найдите отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.
Решение. а) Ребро AD перпендикулярно медиане основания AK и ребру AB по условию, следовательно, ребро AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Основания EF и GH равнобедренной трапеции, которая является сечением пирамиды, параллельны друг другу и линии пересечения тех граней, в которых они лежат. Рассмотрим основание EF — точка F лежит либо на ребре AB, либо на ребре DC. Если точка F лежит на ребре AB, то трапеция EFGH — прямоугольная, что невозможно из условия ее равнобокости. Значит, плоскость секущей трапеции параллельна ребру BC.
Спроектируем плоскость секущей трапеции на основание пирамиды (см. рис.). При ортогональном проектировании отношении отрезков прямых сохраняется, поэтому 
то есть 
—
Углы AHG и ABC равны как соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых HG и BC секущей AB, аналогично равны углы AGH и ACB. Таким образом, 
и треугольник ABC — равнобедренный по свойству. Отсюда 
б) Из условия 
поэтому треугольник DAK — равнобедренный и прямоугольный, 
Площадь ортогональной проекции есть произведение площади исходной фигуры на косинус угла между проекцией и фигурой, то есть:
и ABC
как соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых 
и BC секущей AB. 
Следовательно, выбранные треугольники подобны 
Аналогично подобны треугольники AHG и ABC, но в этом случае 
и 
Получаем:
Опустим из точки T 
—
Найдем площадь трапеции EFGH:
Искомое отношение равно:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |