РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 679330 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 502

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента , знаменатель: синус x конец дроби минус 1 = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 5 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  При $синус x меньше или равно 0$ уравнение не имеет решений. При $синус x больше 0$ обе части уравнения можно умножить на $синус x,$ откуда, используя тождество $синус в квадрате x = 1 минус косинус в квадрате x,$ находим:

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента , знаменатель: синус x конец дроби = 1 равносильно система выражений корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента = синус x, синус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений косинус в квадрате x минус косинус x = синус в квадрате x, синус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1 = 0, синус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 1, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . синус x больше 0 конец совокупности . равносильно система выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x больше 0 конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента , знаменатель: синус x конец дроби = 1 равносильно система выражений корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента = синус x, синус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус в квадрате x минус косинус x = синус в квадрате x, синус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1 = 0, синус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 1, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . синус x больше 0 конец совокупности . равносильно система выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x больше 0 конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента , знаменатель: синус x конец дроби = 1 равносильно система выражений корень из: начало аргумента: косинус в квадрате x минус косинус x конец аргумента = синус x, синус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус в квадрате x минус косинус x = синус в квадрате x, синус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1 = 0, синус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 1, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . синус x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x больше 0 конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус 5 Пи меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус 5 меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2k меньше или равно минус 1 равносильно минус 15 меньше или равно 2 плюс 6k меньше или равно минус 3 равносильно$
$равносильно минус 17 меньше или равно 6k меньше или равно минус 5 равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 1, k = минус 2. конец совокупности .$ $минус 5 Пи меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус 5 меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2k меньше или равно минус 1 равносильно$
$равносильно минус 15 меньше или равно 2 плюс 6k меньше или равно минус 3 равносильно минус 17 меньше или равно 6k меньше или равно минус 5 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 1, k = минус 2. конец совокупности .$

Найденным значениям параметра соответствуют числа  $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$  и  $минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

679330

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 502

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	679330	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$