PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно так, что AL : LB = SN : NC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Решение. а) Через точки L и N в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN соответственно, параллельные прямой BC, пусть K и M — точки пересечения этих прямых с ребрами AC и SB соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, а четырехугольник KLMN — сечение пирамиды этой плоскостью. Так как отрезок KL параллелен стороне BC, то по теореме Фалеса
следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки NK и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна прямой SA.
б) Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим T середину стороны BC, P — точку пересечения отрезков AT и KL, Q — точку пересечения отрезков ST и MN. Прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы, проведенные к основаниям равнобедренных треугольников. Следовательно, прямая PQ перпендикулярна прямой BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, прямая QT перпендикулярна прямой MN. Прямая PQ перпендикулярна прямой MN, так как прямая MN параллельна прямой BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.
Прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому 
Тогда:
Применим теорему косинусов для треугольника SAT:
Таким образом, угол между плоскостями α и SAB 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |