РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 681164 Добавить в вариант

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 2.

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 4 косинус в квадрате x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используя нечетность синуса и основное тригонометрическое тождество, получим:

$2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 плюс 4 синус в квадрате x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно$
$равносильно 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 плюс 4 синус в квадрате x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно 4 синус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно$
$равносильно 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 плюс 4 синус в квадрате x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно$
$равносильно 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус 4 плюс 4 синус в квадрате x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x плюс 2 синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа  $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

681164

а)   $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 2.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681164	а)   $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$