PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Пусть 
тогда:
Проанализируем введенную замену:
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение будет иметь одно решение. При 
уравнение решений не имеет.
При любом значении параметра a совокупность (⁎) имеет корень 
которому соответствуют два корня исходного уравнения. Тогда линейное уравнение 
должно или не иметь корней, или иметь корень 
или иметь корень принадлежащий интервалу 
Рассмотрим эти три случая.
1 случай. Уравнение не имеет решений при 
2 случай. Уравнение имеет корень 
при
3 случай. При 
уравнение имеет корень 
Тогда этот корень принадлежит интервалу 
при
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Введем замену 
тогда 
Дискриминант полученного уравнения равен t2 − 16. Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение будет иметь одно решение. При уравнение решений не имеет.
Исходное уравнение принимает вид 
При a = 0 имеем: 
исходное уравнение имеет два решения. При 
вычислим дискриминант:
Откуда находим корни:
Корень 
дает два решения исходного уравнение. Поэтому либо корень 
должен совпадать с 
либо корень не должен давать решений. Равенство 
достигается при
Второй корень не дает решений при 
Следовательно,
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |