Тип 17 № 681250 
Планиметрическая задача. Четырехугольники и их свойства
i
Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке M. Диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в точке O. Окружность, описанная вокруг треугольника ABM, касается прямых BC и OM.
а) Докажите, что 
б) Отрезки AC и BM пересекаются в точке K. Найдите площадь четырехугольника KODM, если OM = 2.
Решение. 
а) По свойству угла между касательной и хордой получаем, что угол CBM равен углу BAM и угол OMB равен углу BAM. Кроме того, угол CBM равен углу BMA как накрест лежащие, а угол ABM равен углу CBM, поскольку отрезок BM — биссектриса. Отсюда
Отрезок OM — средняя линия треугольника ABD, поскольку прямая OM параллельна прямой AB и отрезок BO равен отрезку OD, значит, отрезки AM, BM и MD равны. Откуда угол ABD равен 90°.
б) Угол ODM равен 
Следовательно, 
По теореме Менелая для треугольника BMD и секущей OK получим:
Следовательно, 
Площадь треугольника BKO равна 
Найдем площадь четырехугольника KODM:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
681250
б)
PDF-версии: