PDF-версии: 
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если LA = 3.
Решение. а) Пусть точка H — точка касания окружности со стороной LM. Точка O — центр окружности, значит, отрезок LO — биссектриса угла KLM и отрезок NO — биссектриса угла KNM. Отсюда:
Тогда 
следовательно, точки L, O и A лежат на одной прямой.
б) В прямоугольном треугольнике LAM 
Тогда 
поэтому угол ONA равен 45°. Следовательно, треугольник ONA — равнобедренный и 
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |