РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или шести чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 602 и 1512?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 602?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат n² натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение. Любые два числа дают одинаковые остатки от деления на 5 или 6. Если взять четыре или пять других чисел и добавить к ним первое или второе из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 5 или 6, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух чисел кратна 5 и 6, а потому и их наименьшему общему кратному  — 30. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 30. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма пяти или шести из них будет кратна 5 или 6.

а)  Число 602 при делении на 30 дает остаток 2, а число 1512  — остаток 12, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 2, а именно такой остаток дает число 602.

в)  Требуется, чтобы n² при делении на 30 также давало в остатке 1, то есть чтобы $n в квадрате минус 1 = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ было кратно 30. Заметим, что один из множителей должен быть четным, что повлечет за собой четность второго, поскольку они отличаются на 2. Более того, один из множителей должен нацело делиться на 5. Минимальное натуральное четное число, кратное 5  — это 10, откуда n  =  11.

В качестве примера можно выбрать числа 1, 121  =  11² и еще 8 любых других чисел, дающих при делении на 30 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  11.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681323	а)  нет; б)  нет; в)  11.

Ключ