Ре­ше­ние. Любые два числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 5 или 6. Если взять че­ты­ре или пять дру­гих чисел и до­ба­вить к ним пер­вое или вто­рое из этих двух, то в обоих слу­ча­ях сумма будет крат­на 5 или 6, зна­чит, у за­ме­ня­ю­щих друг друга чисел оди­на­ко­вые остат­ки. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность любых двух чисел крат­на 5 и 6, а по­то­му и их наи­мень­ше­му об­ще­му крат­но­му  — 30. Зна­чит, все числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 30. На­про­тив, если у всех чисел остат­ки оди­на­ко­вы, то сумма пяти или шести из них будет крат­на 5 или 6.

а)  Число 602 при де­ле­нии на 30 дает оста­ток 2, а число 1512  — оста­ток 12, по­это­му они не под­хо­дят.

б)  За­ме­тим, что квад­ра­ты чет­ных чисел крат­ны 4, а квад­ра­ты не­чет­ных пред­ста­ви­мы в виде Сле­до­ва­тель­но, n² не может при де­ле­нии на 4 да­вать оста­ток 2, а имен­но такой оста­ток дает число 602.

в)  Тре­бу­ет­ся, чтобы n² при де­ле­нии на 30 также да­ва­ло в остат­ке 1, то есть чтобы было крат­но 30. За­ме­тим, что один из мно­жи­те­лей дол­жен быть чет­ным, что по­вле­чет за собой чет­ность вто­ро­го, по­сколь­ку они от­ли­ча­ют­ся на 2. Более того, один из мно­жи­те­лей дол­жен на­це­ло де­лить­ся на 5. Ми­ни­маль­ное на­ту­раль­ное чет­ное число, крат­ное 5  — это 10, от­ку­да n  =  11.

В ка­че­стве при­ме­ра можно вы­брать числа 1, 121  =  11² и еще 8 любых дру­гих чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 30 оста­ток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  11.