РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 563?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 563 при делении на 28 дает остаток 3, а число 1417  — остаток 17, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.

в)  Нужно, чтобы n₂ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n = n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. При n  =  7 получим 42, оно не кратно 28. При n  =  8 получим 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n  — это 8.

В качестве примера можно взять числа 8, 64  =  8² и любые другие 8 чисел с остатком 8 от деления на 28.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  8.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681573	а)  нет; б)  нет; в)  8.

Ключ