PDF-версии: 
Точка O — центр грани A1B1C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB и BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между прямой A1C и плоскостью BOC.
Решение. а) Плоскость BOC пересекает грань A1B1C1D1 по прямой, параллельной прямой BC. Следовательно, эта плоскость проходит через середины ребер A1B1 и C1D1 — точки K и M соответственно. Аналогично плоскость AOB проходит через середины ребер B1C1 и A1D1 — точки L и N. Пусть
и 
тогда 
и 
и 
Из равных по двум катетам прямоугольных треугольников BB1K и BB1L по теореме Пифагора получаем:
откуда
Это и означает требуемое.
б) Пусть прямые AA1 и BK пересекаются в точке P. Проведем в треугольнике A1KP высоту A1H. Проекция прямой A1H на плоскость A1B1C1 есть прямая AB, а тогда по теореме о трех перпендикулярах прямые A1H и KM перпендикулярны. Прямые A1H и BK перпендикулярны по построению. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая A1H перпендикулярна плоскости BCO, и угол A1CH — искомый.
Треугольники A1PK и B1BK равны по катету и острому углу. Из пункта а) следует, что 
В прямоугольном треугольнике длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы:
Квадрат длины диагонали прямоугольного прямоугольника равен сумме квадратов длин трех его измерений, откуда
Из прямоугольного треугольника A1CH находим:
то есть 
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Пусть точки M, L, P, Q — середины ребер A1B1, D1C1, B1C1 и A1D1 соответственно. Прямая ML параллельна прямой CB, а прямая PQ — прямой AB. Пусть 
По теореме Пифагора из треугольников BMB1 и PBB1 получаем:
то есть 
поэтому четырехугольник ABCD — квадрат по определению.
б) Пусть 
Из пункта а) известно, что 
Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Тогда в выбранной системе отсчета верны следующие координаты:
Уравнение плоскости BOC имеет вид 
поскольку она проходит через начало координат. Подставляя координаты точек С и O, находим:
Полагая 
находим нормаль к плоскости BOC: 
Пусть угол φ — искомый, тогда
и потому 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |