PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки M и K — середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A1M и B1K.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку D.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.
Решение. а) Пусть точки M1 и P — середины ребер A1B1 и A1D1 соответственно. Тогда параллельны прямые B1K и PD, а также прямые A1M и M1B. Прямые M1P, B1D1 и BD попарно параллельны, поэтому точки M1, P, D, B лежат в одной плоскости. Эта плоскость и есть плоскость α, поскольку она проходит через точку B и содержит прямые, соответственно параллельные прямым A1M и B1K.
б) Диагонали BD и B1D1 граней куба являются диагоналями квадратов со стороной 2, а потому они 
Прямоугольные треугольники DD1P и BB1M1 равны по двум катетам, тогда по теореме Пифагора:
Таким образом, сечение куба плоскостью α — равнобокая трапеция BM1PD. Проведем отрезок M1H — высоту этой трапеции. По теореме Пифагора:
Площадь искомого сечения равна
Ответ: б) 4,5.
Приведем решение пункта а) Александра Турбанова (Липецк).
Положим ребро куба равным а, введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
По условию плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A1M и B1K, значит, вектор нормали 
этой плоскости перпендикулярен обеим этим прямым, то есть 
и 
Полагая 
находим: 
Уравнение плоскости α имеет вид 
поскольку она проходит через начало координат. Следовательно, этим уравнением является 
Координаты точки D удовлетворяют уравнению плоскости α: 
Таким образом, плоскость α проходит через точку D.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |