РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 682554 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 04.07.2025. Добровольная пересдача. Разные города. Вариант 2

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

a)  Решите уравнение $4 косинус в кубе x плюс 3 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Применим формулу приведения и формулу косинуса тройного угла, получаем:

$4 косинус в кубе x плюс 3 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 3x = 0 равносильно 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 k, k принадлежит Z .$

б)  Корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка ,$ отберем при помощи тригонометрической окружности. Подходят числа $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Примечание.

Можно было не использовать формулу косинуса тройного угла, а разложить уравнение на множители:

$4 косинус в кубе x минус косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

682554

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: ЕГЭ по математике 04.07.2025. Добровольная пересдача. Разные города. Вариант 2

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	682554	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$