PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].
Решение. Преобразуем систему, учитывая ограничение
В системе координат xOa изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (выделено синим). Это точки, лежащие одновременно
— правее прямой 
включая саму прямую,
— не ниже ветви гиперболы 
— выше прямой 
На отрезке [4; 5] система имеет хотя бы одно решение при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Заметим, что на отрезке [4; 5] второе неравенство выполнено при всех x, поскольку
положительно, поэтому и a должно быть положительно, чтобы первое неравенство могло выполняться. Тогда первое неравенство дает 
а третье 
Заметим, что при 
первое неравенство дает 
и потому нужных x не найдется.
При 
первое неравенство дает 
а второе 
что не подходит.
При 
возьмем 
получим:
и
Следовательно, на отрезке [4; 5] система имеет хотя бы одно решение при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |