PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решение. Рассмотрим второе уравнение системы. Число
не является решением, поэтому:
График полученного уравнения получается отражением относительно оси Ox правой ветви гиперболы 
сдвинутой вдоль оси Oy вниз на 1 ед. масштаба.
Рассмотрим первое уравнение системы. При 
имеем 
тогда из второго уравнения 
то есть 
При 
получаем:
Это уравнение задает на плоскости пучок прямых, проходящих через точку с 
При 
прямая имеет положительный коэффициент наклона и пересекает только ту часть графика первого уравнения системы, которая лежит ниже оси Ox.
При 
прямая имеет отрицательный коэффициент наклона и пересекает график первого уравнения системы в трех точках до тех пор, пока не достигнет точки касания. Запишем условия касания:
В этой точке прямая пересекает график первого уравнения дважды, а при последующем наклоне левее — в одной, что видно из рисунка. График первого уравнения системы обозначен на рисунке оранжевым, случай второго уравнения обозначен синим, случай —
—
Отметим также, что
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |