В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S боковые ребра наклонены к основанию под 
а) Докажите, что плоскости АKС и ВМС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды MKPC, где Р — точка пересечения ВМ и АK, если объем пирамиды ABCS равен 12.
Решение. а) Плоскости AKC и BMC пересекаются по прямой PC. Треугольники MPC и KPC равны по трем сторонам, а потому если отрезок MH — высота треугольника MPC, то отрезок KH — высота треугольника KPC. Для доказательства перпендикулярности плоскостей AKC и BMC достаточно доказать, что угол MHK — прямой. Пусть прямая SO — высота пирамиды и AO = 2x. Тогда
а по теореме Пифагора в треугольнике AOS:
Отрезок AO является радиусом описанной около треугольника ABC окружности, поэтому 
Пусть точка N — середина ребра AB, тогда по теореме Пифагора в треугольнике CNB:
Луч CN — биссектриса угла C треугольника SCN, поскольку она делит противоположную сторону на пропорциональные прилежащим сторонам части: 
По теореме Пифагора в треугольнике SNB:
Следовательно, 
и 
Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равен разности произведения образующих его сторон и произведения отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника:
Найдем длину медианы AK:
Пусть 
По теореме Пифагора из треугольников PKH и CKH находим:
Тогда:
следовательно, 
Отрезок MK — средняя линия треугольника SAB, поэтому
Таким образом,
то есть треугольник KMH — прямоугольный, 
по теореме, обратной теореме Пифагора.
б) Рассмотрим пирамиды ABCS и MPKC. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины C, поэтому их объемы относятся как площади оснований. Кроме того, площади треугольников с равными высотами относятся как длины сторон, к которым эти высоты проведены, то есть:
Итак,
Ответ: б) 1.
Примечание.
Равенство 
обозначает то, что высота KH пересекает прямую CP при ее продолжении за точку P.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |