PDF-версии: 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B1C1
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что 
Решение. а) Параллельные плоскости ADD1 и BCC1 пересекаются третьей плоскостью ETD1 по параллельным прямым. Таким образом, в плоскости BCC1 через точку T проходит прямая, параллельная прямой ED1. Эта прямая пересекает ребро BB1 в точке F. Четырёхугольник EFTD1 — искомое сечение. В четырёхугольнике EFTD1 стороны ED1 и FT параллельны. Из подобия треугольников D1A1E и TB1F получаем
Следовательно, четырехугольник EFTD1 — трапеция.
б) Пусть продолжения отрезков D1T и A1B1 пересекаются в точке M. Треугольник D1A1M — прямоугольный с катетами 
и 
Гипотенуза D1M равна 
Значит, высота A1H треугольника, проведённая к гипотенузе, равна
Плоскости ETD1 и A1B1C1 пересекаются по прямой D1M. Отрезок A1H является проекцией отрезка EH на плоскость A1B1C1. По теореме о трёх перпендикулярах прямая EH перпендикулярна прямой D1M. Значит, угол EHA1 — линейный угол искомого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника HA1E получаем
Следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |