Ре­ше­ние. Если бы банк не брал про­цен­тов, то долг можно было бы вер­нуть за 3 ме­ся­ца. Про­цен­ты за вто­рой и тре­тий ме­ся­цы будут мень­ше про­цен­тов, на­чис­лен­ных в пер­вый месяц то есть мень­ше 9 тыс. руб. По­это­му при­чи­та­ю­щи­е­ся банку про­цен­ты, мень­шие 27 тыс. руб., можно пол­но­стью вы­пла­тить в чет­вер­тый месяц, по­тра­тив мень­ше 300 тыс. руб.

Ответ: 4.

При­ведём ре­ше­ние в общем виде.

Ми­ни­ми­зи­ро­вать время вы­плат можно, толь­ко мак­си­ми­зи­ро­вав сами вы­пла­ты. Решим за­да­чу в общем виде.

Пусть S  — сумма (в тыс. руб.) кре­ди­та, S_n  — за­дол­жен­ность в n-й месяц, s  — мак­си­маль­ная еже­ме­сяч­ная вы­пла­та, s_n  — вы­пла­та в n-й месяц, S₀ = S, q  — ко­эф­фи­ци­ент еже­ме­сяч­но­го по­вы­ше­ния, q > 1. Тогда

После пред­по­след­ней вы­пла­ты оста­нет­ся и тогда в по­след­ний, N-й раз, кре­дит будет по­га­шен. Зна­чит,

От­но­си­тель­но x = q^N−1 по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство

По усло­вию, S = 900, s = 300, q = 1,01, то есть

Так как 1,01² = 1,0201 < 1,0206..., 1,01³ = 1,030301 > 1,0207..., имеем: N − 1 = 3, N = 4.