РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 694822 Добавить в вариант

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN  — диаметр этой окружности.

а)  Докажите, что прямые AC и KN параллельны.

б)  Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $10 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$ $\angle BAC = 30 градусов,$ $\angle ABC = 105 градусов.$

Решение. а)  Поскольку BN  — диаметр описанной около треугольника ABC окружности, угол BKN прямой. Следовательно, прямые AC и KN перпендикулярны прямой BK, а значит, эти прямые параллельны.

б)  Пусть $R = 10 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$   — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Поскольку прямые AC и KN параллельны, расстояние от точки N до прямой AC равно KH.

В прямоугольном треугольнике BHC имеем

$\angle HBC = 90 градусов минус \angle BCH = 90 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BAC минус \angle ABC правая круглая скобка = 45 градусов .$

Углы ACK и ABK равны, поскольку они опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому

$\angle ACK = \angle ABK = 90 градусов минус \angle BAH = 60 градусов .$

Таким образом,

$KH = CK умножить на синус \angle ACK = 2R умножить на синус \angle HBC умножить на синус \angle ACK = 2R умножить на синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = 30.$

Ответ: б) 30.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 30.

694822

б) 30.

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	694822	б) 30.