PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Введём вспомогательную переменную 
Учитывая, что 
запишем это равенство в виде 
Дискриминант получившегося квадратного относительно x уравнения равен 
и 
не является корнем этого уравнения ни при каком значении y. Таким образом, значениям 
не соответствуют никакие значения x; каждому из значений 
и 
соответствует единственное значение x; каждому из значений 
и 
соответствуют ровно два различных значения x, причём каждое ненулевое значение x достигается для единственного значения y. Итак, количество корней исходного уравнения зависит от количества корней уравнения 
и их расположения относительно чисел −4 и 4.
При 
уравнение 
принимает вид 
откуда находим 
Значит, удовлетворяет условию задачи.
При 
рассмотрим квадратное уравнение 
Запишем его в виде 
При 
уравнение имеет единственный корень 
значит, удовлетворяет условию задачи.
При 
уравнение имеет два различных корня: −8 и 
В этом случае для выполнения условия задачи должно выполняться двойное неравенство 
следовательно, 
Таким образом, получаем 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |