PDF-версии: 
Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно.
а) Докажите, что прямые EK и MP параллельны.
б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 10.
Решение. а) Если из внешней точки окружности проведены две секущие, то произведения всей длины каждой из них на длину внешней части каждой из них равны:
Треугольники CMP и CKE подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними, откуда 
Следовательно, прямые EK и MP параллельны.
б) Пусть точка O — центр окружности. Треугольник EOK — равнобедренный и прямоугольный, поэтому 
Вписанный угол KME и центральный угол KOE опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
Из условия 
следовательно, из прямоугольного треугольника CBK находим 
Применим теорему синусов для треугольника EMK, получим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |