РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Известно, что для любых двух различных чисел a и b из этого набора их сумма a + b делится на модуль их разности |a – b|. Пусть S  — сумма всех написанных на доске чисел.

а)  Может ли на доске быть ровно 3 числа?

б)  Может ли на доске быть ровно 100 чисел?

в)  Найдите наименьшее значение S, если на доске написано 4 числа.

Решение. а)  Да. Например, на доске могут быть числа 1, 2, 3.

б)  Докажем методом математической индукции, что существует набор чисел, в котором НОД любых двух чисел равен их разности. В таком наборе сумма любых двух чисел делится на их разность, поскольку каждое из слагаемых делится на нее. В качестве базы индукции подойдет набор из чисел 2 и 3.

Допустим, такой набор чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ построен, причем $a_1 меньше a_2 меньше \ldots меньше a_n.$ Пусть $A = 2 НОК левая круглая скобка a_1,; a_2; \ldots; a_n правая круглая скобка ,$ тогда рассмотрим набор $A минус a_n, A минус a_n минус 1, \ldots, A минус a_1, A.$ Докажем, что он подходит. Для такого набора верно $A минус a_n больше или равно 2a_n минус a_n больше 0.$ В самом деле, для любого i

$НОК левая круглая скобка A; A минус a_j правая круглая скобка = НОК левая круглая скобка A; a_j правая круглая скобка = a_j = A минус левая круглая скобка A минус a_j правая круглая скобка$

и для любых $i больше j$

$НОК левая круглая скобка A минус a_i; A минус a_j правая круглая скобка = НОК левая круглая скобка A минус a_i; a_i минус a_j правая круглая скобка = a_i минус a_j,$

поскольку $A минус a_i$ кратно a_i, а потому и $a_i минус a_j.$

в)  Набор чисел 2, 3, 4, 6 удовлетворяет всем условиям. Сумма этих чисел равна 15. Докажем, что она наименьшая.

Пусть в наборе есть число 1, тогда для любого другого числа a из набора получаем, что $a плюс 1$ кратно $a минус 1.$ В таком случае и $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = 2$ кратно $a минус 1,$ откуда $a минус 1 = 1$ или $a минус 1 = 2.$ Следовательно, в таком наборе может быть не более трех чисел.

Пусть в наборе есть число 2, тогда для любого другого числа a из набора получаем, что $a плюс 2$ кратно $a минус 2.$ В таком случае и $левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка = 4$ кратно $a минус 2,$ откуда либо $a минус 2 = 1,$ либо $a минус 2 = 2,$ либо $a минус 2 = 4.$ Следовательно, в таком наборе будут числа 3, 4, 6. Этот набор удовлетворяет всем условиям.

Если же в наборе нет ни единицы, ни двойки, то сумма чисел в нем не меньше $3 плюс 4 плюс 5 плюс 6 = 18 больше 15.$

Ответ: а)  да; б)  да; в)  15.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697014	а)  да; б)  да; в)  15.

Ключ