РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 699403 Добавить в вариант

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Для членов последовательности целых чисел a₁, a₂, ..., a₆ для всех натуральных $k меньше или равно 4$ выполняется неравенство $a_k плюс 2 меньше 3a_k плюс 1 минус 2a_k.$

а)  Существует ли такая последовательность, у которой a₁  =  0 и a₆  =  30?

б)  Существует ли такая последовательность, у которой a₁  =  a₃  =  a₆?

в)  Какое наименьшее значение может принимать a₂, если a₁  =  0 и a₆  =  1100?

Решение. а)  Например, последовательность 0, 6, 12, 18, 24, 30.

б)  Отметим сразу, что если из всех членов последовательности вычесть одно и то же число, ее свойство сохранится. Следовательно, будем считать, что $a_1 = a_3 = a_6 = 0.$ Итак, последовательность имеет вид $0, x, 0, y, z, 0$ и при этом:

$0 меньше 3x,$

$y меньше минус 2x,$

$z меньше 3y,$

$0 меньше 3z минус 2y.$

Из первого неравенства $x больше 0,$ тогда из второго $y меньше 0,$ из третьего  — $z меньше 3y меньше 0,$ а потому

$3z минус 2y меньше 9y минус 2y = 7y меньше 0,$

что противоречит четвертому неравенству.

в)  Пусть последовательность имеет вид $0, x, y, z, t, 1100.$ По условию

$y меньше 3x,$

$z меньше 3y минус 2x,$

$t меньше 3z минус 2y,$

$1100 меньше 3t минус 2z,$

то есть

$y меньше или равно 3x минус 1,$

$z меньше или равно 3y минус 2x минус 1,$

$t меньше или равно 3z минус 2y минус 1,$

$1100 меньше или равно 3t минус 2z минус 1.$

Следовательно,

$1100 меньше или равно 3t минус 2z минус 1 меньше или равно 3 левая круглая скобка 3z минус 2y минус 1 правая круглая скобка минус 2z минус 1 =$
$= 7z минус 6y минус 4 меньше или равно 7 левая круглая скобка 3y минус 2x минус 1 правая круглая скобка минус 6y минус 4 = 15y минус 14x минус 11 меньше или равно 31x минус 26,$ $1100 меньше или равно 3t минус 2z минус 1 меньше или равно 3 левая круглая скобка 3z минус 2y минус 1 правая круглая скобка минус 2z минус 1 =$
$= 7z минус 6y минус 4 меньше или равно 7 левая круглая скобка 3y минус 2x минус 1 правая круглая скобка минус 6y минус 4 =$
$= 15y минус 14x минус 11 меньше или равно 31x минус 26,$

а потому $x больше или равно 37.$ Если выбрать $x = 37,$ $y = 110,$ $z = 255,$ $t = 544,$ то все условия будут выполнены.

Ответ: а)  0, 6, 12, 18, 24, 30; б)  нет; в)  37.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  0, 6, 12, 18, 24, 30; б)  нет; в)  37.

699403

а)  0, 6, 12, 18, 24, 30; б)  нет; в)  37.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	699403	а)  0, 6, 12, 18, 24, 30; б)  нет; в)  37.