PDF-версии: 
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 12, BC = 5. Найти отношение CH к EK.
Решение. а) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, отсюда
Сумма углов MCE и MHE равна 180°, поэтому четырехугольник MHEC — вписанный. Следовательно, углы EMH и ECH равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, которую стягивает эта хорда, а потому 
Таким образом, 
то есть при пересечении прямых EK и CH секущей BC соответственные углы равны, а такие прямые параллельны.
б) Длину гипотенузы треугольника ABC найдем по теореме Пифагора:
откуда 
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника BEK находим 
Получаем:
Пусть 
Из условия получаем:
По теореме косинусов для треугольника BEK находим:
откуда
Из прямоугольного равнобедренного треугольника ECM находим 
Отрезок EM — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем 
По теореме синусов для треугольника CEH находим:
В равнобедренном треугольнике AKM 
а потому
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |