PDF-версии: 
Вершины A, B и C параллелограмма ABCD лежат на окружности, вершина D не лежит на этой окружности. Ее хорды BK и BM перпендикулярны прямым AD и CD соответственно.
а) Докажите, что четырехугольник ACMK является прямоугольником.
б) Найдите площадь четырехугольника ACMK, если радиус окружности равен 2, а 
Решение. а) Пусть хорда BK пересекает диагональ AC в точке P, а сторону AD — в точке H. Вписанные углы BCA и BKA опираются на одну дугу, а потому равны. Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC. Пусть
тогда 
откуда
Вписанные углы BAC и BMC опираются на одну дугу, а потому равны. Углы BAC и ACD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC. Пусть 
тогда 
откуда
Следовательно, во вписанном четырехугольнике ACMK 
а потому
то есть в этом четырехугольнике все углы прямые. Такой четырехугольник является прямоугольником.
б) В прямоугольнике противоположные стороны попарно равны: 
По теореме синусов для треугольника ABK получаем:
Аналогично из треугольника ABC находим:
Вычислим площадь прямоугольника ACMK:
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |