PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через вершины A1, B1 и середину ребра BC проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 11, а сторона основания равна 16.
Решение. а) Пусть точка N — середина ребра BC. Продлим прямую B1N за точку N и ребро CC1 за точку C до их пересечения в точке P. Прямая A1P пересечет ребро AC в точке M. Четырехугольник A1B1NM — искомое сечение.
Плоскость α пересекает параллельные плоскости оснований призмы по параллельным прямым, поэтому прямые A1B1 и MN параллельны, точка M — середина ребра AC. Отрезки A1M и B1N равны как гипотенузы равных по двум катетам прямоугольных треугольников MAA1 и NBB1. Таким образом, четырехугольник A1B1NM — равнобокая трапеция.
б) Отрезок MN является средней линией треугольника ABC по построению, тогда 
Высота равнобокой трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на два отрезка: длина меньшего равна полуразности длин оснований, а длина большего — полусумме длин оснований. Следовательно, 
По теореме Пифагора для треугольников MAA1 и MHA1 соответственно получаем:
Таким образом,
Ответ: б) 156.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |