PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 2 решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Решение. Преобразуем уравнение:
Исходное уравнение в системе координат xOa задает вертикальную прямую 
гиперболу 
ветви которой лежат в 1 и 3 четвертях, и окружность 
с центром в точке с координатами 
и радиусом 1. Найдем точку пересечения вертикальной прямой и гиперболы: 
то есть 
Найдем точку пересечения вертикальной прямой и окружности: 
то есть 
откуда 
Изобразим получившиеся множества.
Из рисунка видно, что при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
горизонтальная прямая проходит через точку пересечения гиперболы и вертикальной прямой; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; прямая 
является асимптотой гиперболы, но проходит через точку пересечения вертикальной прямой и окружности и еще одну точку на окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы и вертикальную прямую. Случай единственного решения обозначен на рисунке красным, случаи двух решений — синим, случаи трех решений — зеленым, случаи четырех решений — фиолетовым.
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
Ответ:
ИЛИ
Запишем систему в виде:
График первого уравнения — прямая с угловым коэффициентом 4, проходящая через 
и 
заданных на объединении лучей 
1. При 
то есть при 
прямая (1) имеет с нижней частью графика уравнения (2) ровно две точки пересечения. Чтобы прямая не имела общих точек с верхней частью графика, уравнение
не должно иметь решений при 
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
С учетом условия 
получаем, что при 
система имеет ровно два решения.
2. Если 
и 
то есть 
то прямая имеет ровно одну точку пересечения с нижней частью графика уравнения (2) и ровно одну точку пересечения с верхней частью графика, то есть исходная система имеет ровно два решения.
3. При 
то есть при 
прямая имеет ровно две точки пересечения с верхней частью графика уравнения (2). Чтобы прямая не имела общих точек с нижней частью графика, уравнение
не должно иметь решений при 
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
С учетом условия 
получаем, что при 
система имеет ровно два решения.
Итак, исходная система имеет два решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |