До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Ответ: 240.

Приведем арифметическое решение.

Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или круга. Чтобы встретиться 4 раза, полный круг минутная стрелка должна обойти три раза. Всего круга. Поэтому необходимое время равно часа или 240 минут.

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

Помещаем решение в общем виде.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t₁ минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁ = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, откуда t₁ = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t₂ минут после первого, тогда 0,5t₂ = 6t₂ − 360, откуда t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: t_n = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n = (60h − 11m + 720n)/11.

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой — 1 деление/час. До седьмой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 6 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 6 кругов по 12 делений. Пусть после этого до седьмой встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 72 делений, ещё 7,75 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 4 часа 45 минут) и последних L делений. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок:

Часовая стрелка пройдет 7,25 делений, что соответствует 7,25 часам, то есть 435 минутам.

Ответ: 435.

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до последней встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

Часовая стрелка пройдет 9 делений, что соответствует 9 часам или 540 минутам.

Ответ: 540.

К моменту первого обгона мотоциклист за 5 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 55 минут, следовательно, его скорость в 11 раз больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 11x, а скорость их сближения — 10x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 50 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 100 км/час.

Итак, 10х = 100 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 10 км/час, а скорость мотоциклиста равна 110 км/час.

Примечание.

В условии явно не указано, успевает ли велосипедист проехать полный круг до того как мотоциклист начнёт своё движение или нет. Разумно предположить, что велосипедист не успевает проехать полный круг, потому что иначе его скорость должна составлять 1 км/мин, или 60 км/час, что для велосипедиста труднодостижимо.

Первый обогнал второго на 3 км за четверть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Ответ: 108.

Первый обогнал второго на 4 км за 20 минут, то есть, за треть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Ответ: 108.

Первый обогнал второго на 6 км за час, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 96 км/ч.

Ответ: 96.

Первый обогнал второго на 4 км за час, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составив и решив уравнение

где 184 км — длина всей трассы, 5 мин = часа, получим, что скорость второго гонщика 92 км/ч.

Ответ: 92.

Пусть масса 24-процентного раствора кислоты — кг, а масса 67-процентного — Если смешать 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавить кг чистой воды, получится 41-процентный раствор кислоты: Если бы вместо 10 кг воды добавили кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты: Решим полученную систему уравнений:

Ответ: 60.

Первый обогнал второго на 8 км за 0,8 (48:60) часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 150 км/ч.

Ответ: 150

Первый обогнал второго на 6 км за 1 час, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 96 км/ч.

Ответ: 96

Первый обогнал второго на 4 км за пятую часть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 80 км/ч.

Ответ: 80.

Первый обогнал второго на 5 км за шестую часть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика км/ч, тогда скорость первого км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 120 км/ч.

Ответ: 120.

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Ответ: 20.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

Ответ: 59.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Ответ: 80.

Пусть км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Ответ: 33.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 20 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 11 км. Следовательно, на это ему потребуется 33 минуты.

Пусть км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Таким образом, мотоциклисты поравняются через  часа или через 50 минут.

Ответ: 50.

Пусть км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Ответ: 48.

Пусть  км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго —  км/ч. Пусть через  часов мотоциклисты поравняются в первый раз. Тогда, поскольку их разделяет 2,5 км (половина трассы) имеем:

Следовательно, часа или 30 минут.

Ответ: 30.