Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых и Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата с вершиной в начале координат.

2) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с вершиной в начале координат.

Точки являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых и/или поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением отрезка AB прямой дуги параболы с концами в точках B и C и дуги параболы с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол и в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг и в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При или прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при

Ответ:

Примечание Алексея Лапатина.

Утверждение «при a = 0 прямая m касается парабол» далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.

1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.

2. Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.

Перепишем исходную систему в виде

Исходная система имеет решения, тогда и только тогда, когда относительно имеет решения система:

Решая уравнение этой системы, находим, что Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения находятся из совокупности неравенств

Иррациональные неравенства можно решить, используя теоремы о равносильности:

Получим: или что дает

Другой путь решения неравенств — ввести замену В этом случае Тогда:

Тем самым, Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Ответ:

Преобразуем систему, получим:

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки и пересекая параболу еще в четырех точках.

При этом радиус окружности равен откуда или

Ответ:

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим: , откуда

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: , откуда

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

Ответ:

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол:

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы в двух точках с положительными ординатами.

Получаем уравнение , откуда

,

которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:

Ответ:

Перепишем исходную систему в виде

Исходная система имеет решения, тогда и только тогда, когда относительно имеет решения система:

Решая первое уравнение этой системы, находим, что

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения находятся из совокупности неравенств

решая которое, получаем

Ответ:

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол:

(см. рисунок).

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки и пересекая параболу еще в четырех точках.

При этом радиус окружности равен откуда или

Ответ:

Решим первое уравнение:

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

Так как то при корней нет, при получаем один корень при получаем два различных корня. У параболы — ветви вверх, абсцисса вершины равна

Значит, оба корня не меньше -3 при то есть при а при один корень меньше −3, а другой — больше −3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда с учётом из получаем, что x = 4, a = −3.

Ответ:

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Прямая пересекает прямую при и при пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

Тогда исходная система равносильна следующей:

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень который удовлетворяет системе при Второе уравнение имеет два различных корня только при a > 0, причем, x₂ является корнем системы при любом положительном a, а x₃ при Таким образом система будет иметь два различных решения при Кроме того, положительные корни x₁ и x₂ могут совпасть это происходит при a = 1.

Ответ:

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

При такая прямая пересекает прямую при и пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

Тогда исходная система равносильна следующей:

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень который удовлетворяет системе при Второе уравнение имеет два различных корня только при a > 0, причем, x₂ является корнем системы при любом положительном a, а x₃ при Таким образом система будет иметь два различных решения при Кроме того, положительные корни x₁ и x₂ могут совпасть это происходит при a = 3.

Ответ:

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Преобразуем первое уравнение системы

Очевидно, число решений системы совпадает с числом корней этого уравнения. является его корнем. У второго множителя корень который удовлетворяет условию при или

У первого множителя нет корней при и корни при положительных a. Корень удовлетворяет условию заведомо, а корень  — только при

Теперь можно изучать число корней уравнения.

При их не более двух.

При их два.

При их тоже два, поскольку (при других a этот корень не совпадает с шестеркой).

При их три и они все различны.

При их три (поскольку При других a этот корень не совпадает с шестеркой)

Наконец, при их четыре, за исключеием случая, когда то есть при Там три корня.

Ответ:

Преобразуем первое уравнение системы:

Исходная система имеет ровно три различных решения тогда и только тогда, когда графики функций и и прямая имеют с прямой три различных точки пересечения на области (см. рис.).

Из рисунка видно, что при два решения, при одно решение, при два решения, при три решения, при четыре решения, при три решения,

при четыре решения.

Ответ:

Запишем первое уравнение в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рисунок).

При каждом значении a уравнение задаёт прямую, параллельную прямой или совпадающую с ней.

При такая прямая пересекает прямую при пересекает правую ветвь гиперболы при любом значении a, пересекает левую ветвь гиперболы при При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при

Ответ:

Запишем первое уравнение в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рисунок).

При каждом значении a уравнение задаёт прямую, параллельную прямой или совпадающую с ней.

При такая прямая пересекает прямую при пересекает правую ветвь гиперболы при любом значении a, пересекает левую ветвь гиперболы при При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при

Ответ:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу параболы c концом в точке во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 2, в третьем — дугу параболы с концом в точке А (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −2.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения и как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

Ответ:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению.

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу параболы c концом в точке во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем — дугу параболы с концом в точке А (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a =  −3.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения и как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

Ответ:

Запишем первое уравнение в виде

При левая часть уравнения не имеет смысла.

При уравнение задаёт прямые и гиперболу (изображены синим).

При каждом значении a уравнение задаёт прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Прямые m проходят через точки пересечения прямых и гиперболы при и

При прямые m пересекают прямую при любом нулевом значении a, прямую при любом нулевом значении a, пересекает правую ветвь гиперболы при пересекают левую ветвь гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых и гиперболы с прямой m при условии Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при и

Ответ:

Раскроем модуль: при или уравнение принимает вид при его можно записать в виде

На координатной плоскости уравнение (*) задает прямые или Уравнение (**) задает окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом Тем самым, график первого уравнения исходной системы имеет вид, приведенный на рисунке синим цветом.

Графиком второго уравнения является семейство прямых получаемых сдвигом прямой на а единиц вдоль оси ординат. Система имеет более двух решений тогда и только тогда, когда графики построенных уравнений имеют более двух общих точек. Возможны два случая: графики уравнений имеют бесконечно много общих точек, что возможно при (выделено на рисунке красным) или прямые лежат между прямыми m и n (см. рис.). Здесь прямая m проходит через точку (-1; 1), а прямая n является касательной к окружности.

Определим уравнение касательной, подставив   в

Очевидно, что дискриминат этого уравнения должен равняться 0:

Нам подходит меньший корень, так как больший корень сдвинет нашу прямую вниз. Это происходит потому, что знак перед a отрицательный. Подставив координаты точки (-1; 1) в уравнение прямой из второй строчки системы, получим, что

Таким образом, получаем окончательный ответ

Ответ:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых и Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата с центром в начале координат.

2) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга выше прямой .

3) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга правее прямой .

4) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с центром в начале координат.

Точки являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых и/или поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением отрезка AB прямой дуги параболы с концами в точках B и C и дуги параболы с концами в точках A и C (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение..

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При или прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при

Ответ:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют отрезок внутри квадрата который лежит в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат.

2) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox между прямыми и .

3) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy между прямыми и .

4) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых и Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата который лежит в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m с коэффициентом наклона -1.

При a = 1 прямая m совпадает с частью графика из первой строчки, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается части графика из первой строчки, то есть исходная система имеет одно решение.

При прямая m пересекает график в трех точках точках, то есть исходная система имеет три решения.

При или при прямая m пересекает график в одной точке.

Значит, исходная система имеет более двух решений при

Ответ: