а) Из данного уравнения получаем:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Ограничения на

Ясно, что по определению логарифма (ведь это будет главным «инструментом» при решении данного уравнения), поэтому при нахождении ограничений на нам пока что достаточно иметь в виду всего лишь систему

Однако, среди искомых решений этой совокупности уравнений нет значений при которых их косинус обратился бы в нуль. Дело в том, что, когда косинус некоторого аргумента обращается в нуль, его синус либо равен единице, либо равен минус единице. А ограничения на с учетом области определения логарифмической функции в данном случае не позволяют синусу иметь ни положительный знак, ни быть равным единице. Следовательно, имеет место:

б) Ясно, что в промежуток попадает лишь один корень:

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

Покажем, что решения уравнения не удовлетворяют исходному уравнению, в котором должно выполняться условие:

Если то    что не выполнимо ни при каких значениях

«Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и Проверим их пригодность для исходного уравнения поочередно, руководствуясь тем, что логарифм по допустимому основанию существует лишь для положительных чисел.

Заметим, что наименьший положительный период функции есть число (как наименьшее общее кратное положительных периодов слагаемых функций: для функции — это для функции — число ). Следовательно, в дополнительной проверке нуждаются решения, соответствующие четным и нечетным значениям

Если то Ясно, что

Если то

Но Следовательно, при нечетных числа вида не могут быть решениями исходного уравнения.

Отсюда и выводы:

— решения уравнения-следствия, представляемые числами вида лишь при четных значениях могут быть решениями исходного уравнения;

— поскольку наименьший положительный период функции также равен а серия корней получена из равенства то при значениях также будет обеспечено выполнение условия

Исследование этой серии корней проводится аналогично с тем, как это было сделано для серии корней Однако при этом все решения уравнения-следствия окажутся подходящими и для исходного уравнения. Докажем это.

Если то

Если то

А Т. е.

б) Нетрудно заметить, что на отрезке лежит единственный корень

Замечания:

1. Символ в записи «» означает, что уравнение является следствием уравнения у которого множество решений, быть может, шире, нежели у уравнения — посылки; расширение множества решений в нашем случае могло произойти только за счет расширения множества значений переменной, на котором оно (уравнение) может рассматриваться. Потому потребовалась проверка пригодности найденных решений и отсеивание посторонних.

2. Предложение ««Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и » не следует рассматривать как некорректность применения союза «и». В контексте приведенного предложения союз «и» играет всего лишь роль союза, применяемого между однородными членами предложения; здесь союз «и» не может служить логической связкой, образующей некую конъюнкцию двух элементарных высказываний (предикатов), впрочем, которой здесь и нет.

Ответ: а) б)

а) Рассмотрим уравнение

Заметим, что при При таком значении выражение теряет смысл. А при выражение имеет значение равное

Заметим также, что при и исходное уравнение смысла не имеет.

Теперь рассмотрим уравнение

Однако при получим: при котором уравнение смысла не имеет, как это было показано выше.

Следовательно, решения заданного уравнения:

б) Заметим, что корень уравнения, равный 3, принадлежит заданному отрезку. Для нахождения других искомых корней решим двойное неравенство относительно целого n при условии, что

При при при

Ответ: а) б)

а) Правая часть заданного уравнения — ограниченная функция: Следовательно, такие же ограничения следует наложить и на левую его часть. То есть

Функция косинус также ограничена и не принимает значений, меньших −1, поэтому Но тогда левая часть уравнения равна а исходное уравнение принимает вид

Решим полученные уравнения:

Найдем значения x, при которых найденные серии решений и совпадут. Для этого найдем их значения, принадлежащие промежутку

Из серии при при при при

Из серии при при ; при при

Тем самым, общие решения обоих уравнений, имеют вид

б) Чтобы отобрать корни, решим двойное неравенство на множестве целых чисел:

При найденных m получим:

Ответ:а) б)

а) Ограничения на

Решим уравнение

Уравнение корней не имеет.

Теперь решим уравнение

Решения заданного уравнения — числа вида

б) Искомые корни получим с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

Решение 1.

а) Ограничение на т. е.

Заданное уравнение будем рассматривать только на множестве, элементы которого удовлетворяют неравенствам, указанным выше.

Уравнение решений не имеет.

б) Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

Решение 2.

а) Случай 1.

Случай 2. откуда или (что невозможно). Тогда причем откуда

б) отрезку принадлежат точки

Ответ а) б)

А) Найдем ограничения на x. Отсюда ясно, что искомые решения неравенства принадлежат второй четверти.

Для таких x:

С учетом полученных ограничений на x: исходному уравнению удовлетворяют числа вида

Б) Ни один корень уравнения не принадлежит отрезку Докажем это.

На единичной окружности выделен отрезок

Заметим, что и начало отрезка, точка и его конец, точка принадлежат второй четверти.

Предположим, что при некотором целочисленном значении n во второй четверти найдется число, синус которого принадлежит либо промежутку либо промежутку

Однако такого числа нет, так как

Докажем это:

Ответ: А) Б) Таких корней нет.

а) Запишем исходное уравнение в виде: Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к положительному числу, поэтому исследовать ОДЗ не требуется.

Для решения полученного тригонометрического уравнения используем формулу синуса двойного угла откуда получаем откуда или

Из уравнения находим: или

Из уравнения находим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Перепишем уравнение в виде

откуда

б) На указанном промежутке лежит

Ответ: а) б)

Левая часть уравнения имеет смысл при

Если , то , откуда

Если , то , откуда или

Уравнение не имеет решений.

Уравнение имеет корни Учитывая, что , получаем:

Ответ:

Из первого уравнения системы получаем

Заметим, что если пара  — решение системы, то пара  — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара Таким образом, и из второго уравнения получаем:

Проверим, действительно ли система при найденных значениях a имеет единственное решение.

1. Если , то система действительно имеет единственное решение:

Тогда

2. Если , то система имеет три решения:

Каждому из найденных значений x соответствует единственное значение

Ответ: система имеет единственное решение при

а) Решим уравнение

б) Серии и задают корни, расположенные в первой четверти. Из них в промежутке окажутся лишь два корня: и

а) Выражение имеет смысл, если выполнены следующие условия: Но в нашем случае по определению логарифма также должно выполняться условие Следовательно, для нахождения ограничений на достаточно проверить выполнение двух условий: и

Из первого неравенства получим следующую необходимую информацию: А проверку выполнения второго неравенства отложим до завершающего этапа наших исследований.

Решим уравнение:

Выше выявлено, что следовательно, нам предстоит решить только уравнение Его решения известны:

Теперь проверим выполнение неравенства для каждой из полученных серий решений.

При Таким образом, серия корней — серия посторонних корней.

Если то

Итак, множество корней заданного уравнения имеет вид:

б) Выборка корней:

Решения последнего неравенство в целых числах:

При искомый корень равен

Ответ: а) б)

а) Найдем ограничения на Заметим, что то есть. выражение стоящее под первым знаком логарифма положительно при всех действительных значениях переменной Однако должно выполняться и условие то есть, уравнение имеет смысл при всех значениях , удовлетворяющих неравенству Для таких будем иметь:

Равенство невыполнимо ни при каких Однако, равенство не относится к числу разрешенных значений Таким образом,

б) Ясно, что промежутку принадлежат лишь два корня заданного уравнения:

Ответ: а) б)

Найдем некоторые ограничения на х. При x = 1 или x = -3 выражение обращается в нуль.

При x = 1 должно выполняться условие т. е. условие Заметим, что (третья четверть). Неравенство выполняется. Число 1 является корнем исходного уравнения.

При x = -3 должно выполняться условие т. е. условие Однако, это условие невыполнимо. Докажем.

Действительно, В то же время

Число 12 находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. А это значит, что число -3 корнем исходного уравнения служить не может.

Теперь решим уравнение

Сделаем выборку корней, принадлежащих отрезку

Ясно, что при n = 0 рассматриваемому отрезку принадлежит.

При n = 1 То есть число отрезку не принадлежит.

При n = -1 Покажем, что Действительно,

При n = -2 Но (неравенство очевидное).

Дальнейшие поиски корней смысла не имеют.

Таким образом, корнями заданного уравнения являются числа:

Ответ:

а) Перепишем уравнение

б) Отрезку  принадлежит только один корень

Ответ: а) б)

Обозначая получаем уравнение откуда или

Значит, откуда то есть или откуда то есть

б) С помощью тригонометрической окружности отберем корни на интервале Получим числа

Ответ: а) б)

а) Перейдём к системе:

Решаем уравнение системы

Получаем:

С учётом всех ограничений

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Примечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т. п.

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде: Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к единице, поэтому исследовать ОДЗ не требуется.

Для решения полученного тригонометрического уравнения используем формулу косинуса двойного угла откуда получаем Обозначая имеем:

Вернемся к исходной переменной. Уравнение корней не имеет, поскольку косинус не больше 1.

Из уравнения находим: или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)