Поиск
'



Всего: 36    1–20 | 21–36

Добавить в вариант

Задания Д12 C4 № 505637

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что AO= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 .

б) Найдите длину отрезка CE.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие

Задания Д12 C4 № 505739

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Задания Д12 C4 № 508169

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и биссектриса СL.

а) Докажите, что СL является биссектрисой угла MCH.

б) Найдите длину биссектрисы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 98.
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 511219

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задание 16 № 514372

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?


Аналоги к заданию № 514372: 519900 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Подобие
Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

Задание 16 № 505501

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 1.
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Задание 16 № 507262

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.


Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Задания Д12 C4 № 521810

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE = 1.

а) Докажите, что AE || BC.

б) Найдите длину стороны АС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 233.
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 515137

В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω1 в точке Е.  Окружность  ω2,  описанная  около  треугольника  АDE,  пересекает  продолжение стороны АС в точке F.  

А) Докажите, что  DE — биссектриса угла FDB

Б) Найдите радиус окружности ω2, если известно, что АС = 6, АF = 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 169.

Задание 16 № 525071

Дан треугольник ABC со сторонами AC = 30, BC = 40 и AB = 50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M — середина BC, AP — биссектриса треугольника ABC, O — центр описанной около него окружности.

а) Докажите, что P — середина отрезка LM.

б) Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ.


Аналоги к заданию № 525071: 525099 Все

Методы геометрии: Свойства биссектрис
Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

Задания Д12 C4 № 521753

АК — биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14.

а) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD.

б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р — точка пересечения BD и AK и площадь треугольника АВР равна 27.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 229.
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 527220

Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону AB в точке K так, что AK:KB=1:3.

а) Докажите, что AD делит площадь треугольника ABC в соотношении 1:2.

б) Найдите длину стороны BC, если радиус окружности R= корень из { 2}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 245.
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 505595

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Подобие

Задания Д12 C4 № 511886

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116.

Задания Д12 C4 № 521681

Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.

а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.

б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 225.
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 526938

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что \angle ALK=\angle CLP.

а) Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника APLK, если BC=4, AB=5, AC=6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.
Методы геометрии: Свойства биссектрис

Задания Д11 C4 № 507395

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства
Решение · · Курс 80 баллов ·

Задания Д12 C4 № 521824

Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС.

а) Докажите, что АЕ = ЕD.

б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4,  косинус {AED}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 . Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 235.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Задания Д12 C4 № 527366

Дан треугольник ABC, в котором AB=BC=5, медиана AD= дробь, числитель — корень из { 97}, знаменатель — 2 . На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CE=5CF. Через точку F проведена прямая l, параллельная BC.

а) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l.

б) Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники

Задания Д12 C4 № 508612

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.


Аналоги к заданию № 508612: 562077 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108.
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники
Всего: 36    1–20 | 21–36