а) Заметим, что первый множитель содержит тангенс, поэтому Второй множитель — квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения уравнения задается неравенством На это области второй множитель не обращается в нуль. Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель. Последовательно получаем:

б) Корни из отрезка отберём с помощью единичной окружности. Получаем и

Ответ: а) б)

а) Ясно, что так как степенная функция с целым отрицательным показателем определена только для чисел, отличных от нуля:

Уравнение не имеет из-за ограниченности синуса. Рассмотрим второй множитель:

Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида

б) Отбор корней можно сделать несколькими способами:

1. Путем решения двойных неравенств.

Решим неравенство относительно целых

При получим при

Теперь решим неравенство

При при при

Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими заданному отрезку, являются числа:

2. С помощью графика функции

Для этого достаточно построить график для значений от до пересечь график прямыми Точек пересечения этих прямых и графика функции окажется 5.

Абсциссы точек пересечения легко обнаружить:

3. Перебором различных целых значений

Легко заметить, что из серии корней можно получить искомые корни только при а из серии — только при

При значениях дальнейшие поиски корней не имеет смысла.

4. С помощью единичной окружности

Однако, как показывает опыт, последний способ отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, с помощью единичной окружности в большинстве случаев является самым удобным способом, быстро приводящим к цели.

Замечание: В самом начале решения задачи мы отметили, что Если в конце решения мы получили бы результат или то серию корней исключили бы как посторонние.

Ответ: а) б)

Преобразуем уравнение:

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Откуда получаем, что

В первом случае решений нет. Во втором случае:

Ответ:

а) Один из множителей должен быть равен нулю. Либо либо то есть Либо (но тогда котангенс не определен), либо Кроме того, должен быть отрицательным, поэтому годится только

б) По тригонометрическому кругу отберем корни на отрезке —

Ответ: а) б)

а) Разложим левую часть на множители:

Уравнение не имеет корней. Имеем

Если то это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на Получаем:

б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.)

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение

Первый множитель обнуляться не может.

б) На указанном отрезке лежат точки

Ответ: а) б)

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла:

Из уравнения получаем , так как Решением уравнения является Одно из которых лежит в первой четверти (и, значит, для него неравенство не выполняется), а другое — в четвертой четверти (для него неравенство выполняется), значит, решением этой системы является серия

Осталось решить второе уравнение совокупности:

Ответ:

а) Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

1 случай. Если то

2 случай. Если то При решений нет. Разделим обе части уравнения на Получаем

Тогда

б) Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б) и

a) Левая часть уравнения имеет смысл при Поэтому множитель положителен. Тогда,

б) Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем и

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение

б) Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

Тогда искомый корень

Примечание.

Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).

Ответ: а) б)

а) Уравнение сводится к при условиях

Решим его:

Обе серии лежат в ОДЗ.

б) С помощью тригонометрического круга найдем ответ:

Ответ: а) б)

а) Для того, чтобы уравнение было определено, необходимо и достаточно , чтобы Тогда останется решить уравнение:

Первое дает (второе семейство ответов не удовлетворяет условию ), второе дает

б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. Получим:

Ответ: а) б)

а) Левая часть уравнения определена при то есть при Числитель дроби должен быть равен нулю:

Серию нужно отбросить. Получаем ответ:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке

Ответ: а) б)

а) Найдем ограничения на

Преобразуем левую часть уравнения:

Итак, Для разрешенных значений далее будем иметь:

Однако из полученных серий решений следует исключить числа вида

Таким образом, решения заданного уравнения – числа вида за исключением чисел вида где

б) Выборку корней будем осуществлять путем перебора целых значений

Из серии корней отличных от Чтобы найти наименьший искомый корень из этой серии решим неравенство в целых числах. Получим: Отсюда ясно, что искомый наименьший корень вычисляется по формуле при Далее, каждый следующий корень получим путем прибавления к нему числа Результаты будем заносить в таблицу. Посторонние корни по ходу будем отсеивать, учитывая условие

Аналогично найдем корни из серии отличные от

Таким образом, мы нашли 42 корня, принадлежащие заданному отрезку.

Замечание.

Запись множества корней заданного уравнения может выглядеть так:

Ответ: а) за исключением чисел вида где б) всего 42 корня (см. таблицу).

а) Решим уравнение:

Уравнение решений не имеет.

б)

Из графика получим:

Ответ: а) б)

а) Перепишем уравнение, используя формулу преобразования суммы косинусов двух аргументов в произведение:

б)

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

Уравнение действительных корней не имеет.

б) Выборку корней сделаем с использованием единичной окружности.

Ответ: а) б)

Замечания:

1. Здесь умножение обеих частей уравнения на к появлению посторонних решений не приводит.

2. Заданное уравнение можно решить и так:

а) Последовательно получаем:

б) Ясно, что искомыми корнями будут числа вида:

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

Уравнение решений не имеет.

б) Выборка корней.

Из серии корней

Из серии

Из серии

Ответ: а)

б)

а) Последовательно получаем:

б) Отбор корней сделаем с помощью двойных неравенств, которые будем решать относительно целых n.

Ответ: а) б)