а) Пусть тогда Исходное уравнение принимает вид (модуль можно опустить, поскольку ). Далее имеем: откуда или

Значит,

б) Изобразив полученные точки на тригонометрическом круге, получим ответ

Ответ а) б)

Последовательно получаем:

Для решения неравенства воспользуемся геометрическим смыслом модуля. Левая ее часть на числовой прямой представляет собой сумму расстояний от точки до точек (1) и (8) не больше 7. Следовательно, верно неравенство

Теперь найдем целочисленные значения x, удовлетворяющие условию

Если n = 0, то: Ясно, что Докажем, что

(неравенство очевидное).

Если n = 1, то Очевидно, что Докажем, что Действительно, Получили очевидное неравенство.

Заметим, что при будет выполнено неравенство Действительно, уже при имеем:

(неравенство очевидное).

Ответ:

Введём обозначения:

В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение

Решим уравнение относительно

значит, является решением уравнения при или

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:

Заметим, что при при

Рассмотрим случай

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Если то причём равенство возможно только при

Значит, при уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим случай

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Рассмотрим случай

В этом случае верны неравенства и так как и Значит, уравнение имеет решения отличные от нуля, а значит решений больше одного.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и то есть при и

Ответ:

Введём обозначения: В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид

Заметим, что при при

Пусть покажем, что в этом случае уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если то

Если то причём равенство достигается только при и

При верны неравенства и так как и Значит, уравнение имеет решение.

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение

Решим уравнение относительно значит, является решением уравнения при или

Случай, когда уже был разобран.

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и то есть при и

Ответ:

а) Поскольку левая часть исходного уравнения неотрицательна при всех Тогда:

б) Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

а) Имеем: то есть и имеют одинаковые знаки. При этом поэтому Итак, x лежит в третьей четверти тригонометрического круга. Теперь мы можем упростить уравнение:

(второй набор решений не лежит в третьей четверти). Дляэтого набора все условия выполнены, в том числе не пригодившееся до сих пор

б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежит

Ответ: а) б)

Из первого уравнения системы получаем

Заметим, что если пара  — решение системы, то пара  — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара Таким образом, и из второго уравнения получаем:

Проверим, действительно ли система при найденных значениях a имеет единственное решение.

1. Если , то система действительно имеет единственное решение:

Тогда

2. Если , то система имеет три решения:

Каждому из найденных значений x соответствует единственное значение

Ответ: система имеет единственное решение при

Полагая , перепишем исходную систему в виде

Заметим, что если хотя бы одна из переменных отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению соответствует , а значению соответствует а каждой паре положительных значений соответствует по два значения исходных переменных соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.

Заметим далее, что если пара является решением системы, то и пара  — также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если Таким образом, исходная система имеет четыре решения тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения: или , где и

Рассмотрим три случая.

1. Если то из первого уравнения из второго уравнения При найденном значении параметра система принимает вид

Осталось убедиться, что данная система не имеет других решений, кроме Из первого уравнения подставим во второе:

Последнее уравнение имеет единственный корень Это доказывает, что других решений система не имеет.

2. Если а то При этом значении параметра система принимает вид

Проверим, имеет ли данная система решения, отличные от . Из первого уравнения снова подставим во второе:

Последнее уравнение имеет два корня и Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю и еще двум.

3. Если а то Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.

Ответ:

а) Если то эти числа подходят.

Если то уравнение равносильно Его корнями являются и первый из которых не удовлетворяет условию Второй подходит.

Если то уравнение равносильно У него нет корней.

б) На указанном отрезке лежат корни

Ответ: а) б)

а) Перепишем уравнение в виде

Если то Нам подходит только второй набор.

Если то Нам подходит только второй набор.

Если то

Окончательный ответ

б) На указанном отрезке лежат

Ответ: а) б)

Преобразуем уравнение в однородное и решим его:

б) С помощью тригонометрического круга отберем корни, учитывая что

На указанном промежутке лежат:

Ответ: а) б)

Поскольку и и, значит, левая часть второго уравнения системы не меньше, чем Так как его правая часть не больше оно равносильно системе

из которой находим, что

Первое уравнение имеет целые коэффициенты и, чтобы исходная система имела решение, должна иметь целый корень Так как  — тоже целое число и из равенства получаем, что — нечетный делитель числа 2. Таким образом, он равен 1 или –1.

При находим при находим

Ответ: система имеет решения при

Система уравнений разбивается на совокупность двух систем:

Решим первое уравнение системы:

Аналогично из второй системы получаем пару решений

Ответ:

а) Условие равносильно тому, что и Значит, или

б) На указанном промежутке лежит

Ответ: а) или б)

а) Решим уравнение :

Теперь решим уравнение :

Наконец, чтобы второй множитель был определен, нужно чтобы

поэтому из решений первого уравнения подходит лишь

б) Ясно, что не лежит на нужном отрезке, а

Ответ а) б)

Прежде всего: заметим, что если  — решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и Отсюда следует, что условие является необходимым условием существования у системы единственного решения.

При система перепишется в виде

Решая эту систему относительно а, находим, что требуемые значения а могут принадлежать только множеству Пусть Тогда система примет вид

Из второго уравнения системы следует, что и , и, таким образом, Учитывая теперь, что , приходим к неравенству

,

которое означает, что первое равенство системы справедливо только при , , следовательно, , т. е. при , Итак, при система имеет единственное решение.

Пусть теперь При таком значении параметра а система перепишется в виде

Эта система имеет решения , , , и, таким образом, при условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы.

Ответ:

Преобразуем первое неравенство:

Пусть тогда заданное неравенство будет иметь вид: Известно, что для любых действительных чисел и выполняется неравенство треугольника: Следовательно, в нашем случае рассматриваемое неравенство будет иметь место только в том случае, если выполняется равенство Но такое возможно, при одном условии: либо и оба неотрицательны, либо оба неположительны, т. е. справедливо неравенство

Решим неравенство

Итак, решениями первого неравенства системы являются элементы множества

Решим второе неравенство системы. Перейдем в логарифмах к основанию 2.

Таким образом, решения второго неравенства системы – множество

Найдем пересечение решений обоих неравенств. Но прежде докажем неравенство

Для доказательства неравенства достаточно показать, что и

Значит,

Итак, решения системы — множество

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Сделаем замену переменной. Пусть тогда Разделим обе части неравенства на Получим:

Теперь решим неравенство

Итак, решением первого неравенства является множество

Рассмотрим второе неравенство. Найдем ограничения на

При Для таких значений рассматриваемое неравенство будет иметь вид:

Числа являются взаимно обратными. По свойству взаимно обратных чисел возможны два случая:

1)

2)

Таким образом, решениями второго неравенства является множество Пересечение решений обоих неравенств системы:

Ответ:

а) Возведем обе части уравнения в квадрат:

б) Если то поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

Если то Заметим, что поэтому корень лежит на отрезке [3; 5].

Если то поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

Ответ:

Пусть представим первый множитель в числителе в виде

Второй множитель числителя представим в виде

Для рационализации неравенства заметим, что разность имеет тот же знак, что и разность Кроме того, на ОДЗ логарифма разность и разность также имеют одинаковые знаки. Наконец, одинаковые знаки имеют выражения и Последовательно заменяя множители в числителе выражениями того же знака и учитывая ОДЗ, получим равносильное неравенство:

Ответ: