ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задание 7 № 501059

Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Классификатор базовой части: 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса

Задание 7 № 27491

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Источник: ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Подмосковье

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Задание 7 № 27496

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Задание 7 № 317539

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_8.$ В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ положительна?

Задание 7 № 317541

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

Задание 7 № 317542

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots ,$ $x_8.$ В скольких из этих точек функция $f(x)$ убывает?

6 комментариев · Сообщить об ошибке · Помощь

Гость 10.05.2013 17:41

Точка x3 - график производной возрастает => функция больше 0

Александр Иванов

всё наоборот

Гость 30.05.2013 18:12

х2 же точка максимума f'(x),в которой f(x)=0?

Александр Иванов

Нет. Точка х2 это точка максимума f '(x), в которой f''(x)=0, но к заданию это не относится. Вы путаете: если бы производная обращалась в 0, то в точке функция могла бы иметь минимум или максимум.

Гость 02.06.2013 21:26

Необходимо сосчитать точки в которых функция "убывает", а не "отрицательна". Т.е. сия точка должна быть ниже предыдущей, а таковых всего 3: х1, х3, х8.

Александр Иванов

Вы правы. Необходимо сосчитать точки в которых функция "убывает", а не "отрицательна". НО... на картинке график ПРОИЗВОДНОЙ, а не график функции. А ФУНКЦИЯ УБЫВАЕТ там, где ПРОИЗВОДНАЯ ОТРИЦАТЕЛЬНА.

Гость 04.11.2013 11:33

У вас ошибка.

Служба поддержки

В решении нет ошибок. Рекомендуем учащимся разобраться в решении и, поняв рассуждения, не путаться и не допускать ошибок на экзамене. Напоминаем о возможности обсудить задание в нашей группе В_Контакте.

Эми Мустафаев (Тверь) 09.11.2013 23:07

Читайте внимательно задание, прежде чем нагло обвинять в ошибке.

Гость 19.02.2015 02:59

Дай Бог Вам терпения

Задание 7 № 502067

На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501.

Задание 7 № 6429

На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на интервале $( минус 6;6).$ Найдите промежутки возрастания функции $f(x).$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

6 комментариев · Сообщить об ошибке · Помощь

Татьяна Захожая 22.10.2016 13:31

Здравствуйте! Как я понимаю, в точке х=2 производная равна нулю, следовательно, это точка минимума, то есть число 2 не включается в интервал, и тогда сумма равна 3+4+5=12

Сергей Никифоров

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки присоединяются как к промежуткам возрастания, так и к промежуткам убывания, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Служба поддержки

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции $y=|x|, y=x в степени 2 , y=x в степени 3$ — все они возрастают на отрезке $[0; 1].$

Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

Автор прав,но...

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке [a;b]. Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) - входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для "средней группы детского сада", то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за "Решу ЕГЭ" всем сотрудникам- отличное пособие.

Сергей Никифоров

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

Александр Иванов

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Противоречия нет.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

A Z 28.01.2019 19:09

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Александр Иванов

Коллега.

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке [2; 6) функция возрастает.

После нахождения промежутков просят найти какие целые числа попадают в эти промежутки.

В условии и в решении не идёт речи о возрастании в точке.

Речь в задании о промежутках возрастания.

Maria Zhokhova 07.12.2019 20:11

Господа, добрый день!

На мой взгляд, в решении ошибка: x=2 не должен включаться в решение. В учебнике Ильина, Позняка «Основы математического анализа» (гл. 8 Основные теоремы о непрерывных функциях, § 7 Возрастание (убывание) функции в точке (стр 260 в 7-м издании 2005 года) дано такое определение:

Говорят, что функции f(x) возрастает (убывает) в точке c, если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c (f(x)<f(c) при x>c и f(x)>f(c) при x<c).

В нашем случае точка x=2 не удовлетворяет этому условию. В пояснениях и комментариях не приведено ни одной ссылки на достоверный источник. Это учебник для вузов, в том числе для МГУ. Создан на основе лекций, читавшихся на физическом факультете и ВМК МГУ еще в советское время. Учебник МГУ представляется мне достаточным основанием для изменения решения. Спасибо.

Служба поддержки

Этот учебник у нас тоже есть. Пусть, например, функция f задана на области, состоящей из трех точек: D = {1, 2, 3}, и пусть $f(1)=1,$ $f(2)=2,$ $f(3)=1.$ Тогда f возрастает на множестве {1, 2} и убывает на множестве {2, 3}. А непрерывность тут вообще ни при чем.

Задание 7 № 27485

Прямая $y=7x минус 5$ параллельна касательной к графику функции $y=x в степени 2 плюс 6x минус 8.$ Найдите абсциссу точки касания.

Классификатор базовой части: 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.1.3 Уравнение касательной к графику функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Задание 7 № 27489

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

5 комментариев · Сообщить об ошибке · Помощь

Ирина Жаринова (Екатеринбург) 17.04.2012 21:16

в точке перегиба производная тоже равна нулю

Служба поддержки

Точек перегиба на графике несколько, ни в одной из них производная нулю не равна.

Валентина Сорокина (пгт Ижморский) 29.04.2012 03:05

Разве при х=0, производная не равна 0?

Служба поддержки

В точке 0 производная отрицательна.

Гость 20.05.2013 10:11

Но ведь здесь только одна точка максимума

Олег Николаевич

две

Игорь Курило 29.03.2016 08:56

В точках перегиба (а это Х=0) производная тоже равна 0. Поэтому ответ 5.

Ирина Сафиулина

Добрый день!

В точке перегиба вторая производная равна нулю.

Светлана Токарева 24.02.2019 21:25

Уважаемые коллеги, при решении заданий вы крайне невнимательно работаете с графиками.

В аналогах №№7093, 7097, 7099, 7103 и др. в некоторых точках экстремума производная не существует, т.к. с одной стороны таких точек криволинейная функция, а с другой - отрезок. И о касательных в этих точках тоже говорить нельзя.

Не обращая внимания на тонкости графика, вы даёте неправильные ответы и пояснения!

Авторитет сайта для детей высок, трачу много времени, доказывая свою правоту!

Александр Иванов

Обратите внимание, что пояснения к заданиям 7093, 7097, 7099, 7103 начинаются фразой, выделенной красным цветом, "Это задание еще не решено, приводим решение прототипа". Поэтому в решениях этих заданий пока не может быть ошибок, так как отсутствуют сами решения.

Задание 7 № 27492

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Источник: ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Санкт-Петербург

Задание 7 № 27494

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

3 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 7 № 27501

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Задание 7 № 27502

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Источник: ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Урал

Задание 7 № 27504

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_₀.

2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 7 № 27505

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 7 № 27506

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 7 № 40130

На рисунке изображен график производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f(x)$ параллельна прямой $y=2x минус 2$ или совпадает с ней.

Аналоги к заданию № 40130: 562930 562975 Все

Задание 7 № 40131

На рисунке изображен график производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Аналоги к заданию № 40131: 514459 515184 515185 515186 515187 515188 515189 515190 515191 530666 Все