Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния равна 4, а объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

Ответ: 4.

Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна 64. Тогда вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 0,25.

Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния равна 4, а объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

Ответ: 4.

Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна 64. Тогда вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 0,25.

Квад­рат, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, впи­сан в окруж­ность, яв­ля­ю­щу­ю­ся ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са. По­это­му ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са r равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та ABCD:  Тогда для объ­е­ма ко­ну­са, де­лен­но­го на имеем:

Ответ: 16.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти равен R. Тогда сто­ро­на опи­сан­но­го во­круг нее квад­ра­та равна 2R, а его пло­щадь, рав­ная квад­ра­ту сто­ро­ны, равна 4R². Диа­го­наль впи­сан­но­го квад­ра­та также равна 2R, по­это­му его пло­щадь, рав­ная по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей, равна 2R². Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­ди опи­сан­но­го квад­ра­та к пло­ща­ди впи­сан­но­го равно 2.

Ответ: 2.

Угол A яв­ля­ет­ся пря­мым, он опи­ра­ет­ся на диа­го­наль BD, ко­то­рая яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти.

Ответ: 4.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше её сто­ро­ны. Он равен 2.

Ответ: 2.

Сто­ро­ны квад­ра­та вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. по­это­му она равна 8.

Ответ: 8.

Ра­ди­ус r впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти вдвое мень­ше его вы­со­ты d. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 0,25.

При­ве­дем ре­ше­ние Артёма Ма­лах­вея.

Про­ве­дем вы­со­ту ромба. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му вы­со­та ромба равна  Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты, то есть 0,25.

Ра­ди­ус r впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти вдвое мень­ше его вы­со­ты d. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 8.

При­ве­дем ре­ше­ние Ильи Сус­ло­ва.

Тре­уголь­ник ADH  — пря­мо­уголь­ный, Катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Сле­до­ва­тель­но,

Сто­ро­на квад­ра­та вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му AВ = Ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг квад­ра­та окруж­но­сти равен по­ло­ви­не его диа­го­на­ли. По­это­му

Ответ: 4.

ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не его сто­ро­ны.

Ответ: 2.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не длины его сто­ро­ны. Сто­ро­ну квад­ра­та най­дем на ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 1 и 3: Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

До­ка­жем, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD дей­стви­тель­но яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Все сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с ка­те­та­ми 1 и 3, по­это­му

Диа­го­наль AC че­ты­рех­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 2 и 4, от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке ACD верны ра­вен­ства

тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, этот тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный.

Таким об­ра­зом, в че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD все сто­ро­ны равны и один из углов пря­мой. Такой че­ты­рех­уголь­ник  — квад­рат.

Угол A яв­ля­ет­ся пря­мым, он опи­ра­ет­ся на диа­го­наль BD, ко­то­рая яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти.

Ответ: 90.

Угол A яв­ля­ет­ся пря­мым, он опи­ра­ет­ся на диа­го­наль BD, ко­то­рая яв­ля­ет­ся диа­мет­ром.

Ответ: 86.

Угол A яв­ля­ет­ся пря­мым, он опи­ра­ет­ся на диа­го­наль BD, ко­то­рая яв­ля­ет­ся диа­мет­ром.

Ответ: 92.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше её сто­ро­ны. Он равен 28.

Ответ: 28.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше её сто­ро­ны. Он равен 13.

Ответ: 13.

Сто­ро­на квад­ра­та равна диа­мет­ру окруж­но­сти, по­это­му

Ответ: 10.