СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Варианты заданий

Числа и их свойства

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 19 № 502027

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?


Аналоги к заданию № 502027: 521670 502058 503325 503365 511370 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 10.06.2013. Вто­рая волна. Центр. Ва­ри­ант 601.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

2
Задание 19 № 505570

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?


Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

3
Задание 19 № 508112

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?

в) Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?


4
Задание 19 № 508977

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь если и


Аналоги к заданию № 508977: 512341 512383 509006 517205 517243 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

5
Задание 19 № 509097

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.


Аналоги к заданию № 509097: 509126 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

6
Задание 19 № 509126

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.


7
Задание 19 № 511111

Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а) Может ли быть равным 170?

б) Может ли быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение


Аналоги к заданию № 511111: 519815 519834 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

8
Задание 19 № 512341

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь если и


9
Задание 19 № 512383

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь если и


10
Задание 19 № 512404

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?

б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.


Аналоги к заданию № 512404: 516406 516386 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

11
Задание 19 № 512887

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2b2 + с2d2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a2b2 + с2d2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.


Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

12
Задание 19 № 512893

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2b2 + с2d2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a2b2 + с2d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.


13
Задание 19 № 512994

Четыре натуральных числа таковы, что

а) Могут ли все числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в) Найдите все возможные наборы чисел, среди которых ровно два числа равны.


Аналоги к заданию № 512994: 514711 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

14
Задание 19 № 513269

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?


Аналоги к заданию № 513269: 515711 514712 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

15
Задание 19 № 504548

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?


Аналоги к заданию № 504548: 504569 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

16
Задание 19 № 504855

Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.

а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?

б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?


Аналоги к заданию № 504855: 504834 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 2.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

17
Задание 19 № 505107

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

18
Задание 19 № 505421

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.


Аналоги к заданию № 505421: 505427 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

19
Задание 19 № 505475

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38?

б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?


Аналоги к заданию № 505475: 505497 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

20
Задание 19 № 501400

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.


Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

21
Задание 19 № 501734

а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа  — целые,

 

б) Существуют ли 10 различных чисел таких, что их можно представить в виде где числа  — целые, ровно 130 способами?

 

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа  — целые, ровно 130 способами?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Урал. Ва­ри­ант 203.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

22
Задание 19 № 505503

а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.


Аналоги к заданию № 505503: 511410 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

23
Задание 19 № 513352

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.


Аналоги к заданию № 513352: 513371 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

24
Задание 19 № 513611

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?


Аналоги к заданию № 513611: 513630 516515 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

25
Задание 19 № 513630

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?


26
Задание 19 № 513918

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 10, а сумма которых больше 90, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 90, но больше:

а) 80;

б) 82;

в) 81.

Решение · ·

27
Задание 19 № 513925

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше: 

а) 99;

б) 101;

в) 100.


Аналоги к заданию № 513925: 513918 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

28
Задание 19 № 514031

Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых среди чисел и - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых среди чисел и - различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если известно, что и - различные натуральные числа?


Аналоги к заданию № 514031: 514050 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

29
Задание 19 № 514433

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2015
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

30
Задание 19 № 514452

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?

в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?


Аналоги к заданию № 514452: 514532 514742 Все

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

31
Задание 19 № 514479

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Юг (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

32
Задание 19 № 514744

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а) Приведите пример числа, для которого это частное равно

б) Может ли это частное равняться

в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

33
Задание 19 № 515711

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?


34
Задание 19 № 515787

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n2 и (n + 16)2 дают одинаковый остаток при делении на 200.

б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в) Сколько существует двухзначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n2 и (n + m)2 дают одинаковый остаток при делении на 200.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

35
Задание 19 № 515922

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.


Аналоги к заданию № 515922: 515923 Все

Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

36
Задание 19 № 516054

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в) Какова их минимальная сумма?

Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

37
Задание 19 № 516406

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа?

б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.


38
Задание 19 № 516515

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.

а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?


39
Задание 19 № 516766

Дано квадратное уравнение где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?


Аналоги к заданию № 516766: 516785 Все

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

40
Задание 19 № 516785

Дано квадратное уравнение где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б) Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?


41
Задание 19 № 517425

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

42
Задание 19 № 517429

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

а) 1989?

б) 2012?

в) 2016?

Если нет — объясните, почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

43
Задание 19 № 517451

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?


Аналоги к заданию № 517451: 517437 517444 517458 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

44
Задание 19 № 517744

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?


Аналоги к заданию № 517744: 517756 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть)., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

45
Задание 19 № 517835

В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?


Аналоги к заданию № 517835: 518149 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

46
Задание 19 № 518119

а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786.

б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?

в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

47
Задание 19 № 519478

На доске написано n чисел ai (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri = 2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai − 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).

а) Может ли среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn больше 2, при этом сумма чисел a1a2 … an уменьшилась более чем на 2n?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1, r2, …, rn.

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

48
Задание 19 № 519520

Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.


Аналоги к заданию № 519520: 519546 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Справка: Алгоритм построения сечений

Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.

2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.

3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:

– все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;

– все стороны сечения лежат в гранях многогранника;

– в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

49
Задание 19 № 519664

а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

б) Существуют ли двузначные двузначные натуральные числа m и n такие, что

в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом которых значение выражения будет наименьшим.

Источник: ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

50
Задание 19 № 520808

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.


Аналоги к заданию № 520808: 520884 520920 520858 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

51
Задание 19 № 520827

а) Представьте число в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых и .

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервный день 25.06.2018), За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Решение · ·

52
Задание 19 № 520884

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшится в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.


53
Задание 19 № 520920

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 50 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 2 раза?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 9?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.


54
Задание 19 № 520943

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18.

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?


Аналоги к заданию № 520943: 520950 520986 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 325 (C часть)., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

55
Задание 19 № 520979

За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

 

Примечание редакции Решу ЕГЭ: в п. а) считайте, начальный заряд достаточно большим.

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна, резервный день 25.06.2018. Вариант 501 (C часть)., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

56
Задание 19 № 521000

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна, резервный день 25.06.2018. Вариант 992 (C часть)., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

57
Задание 19 № 521312

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2019 по математике. Про­филь­ный уровень.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

58
Задание 19 № 521670

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?


59
Задание 19 № 524692

Все целые числа от 1 до 13 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а) Может ли на последнем месте стоять число 5?

б) Какие числа могут быть на последнем месте?

в) Сколько четных чисел может стоять на третьем месте?


Аналоги к заданию № 524692: 524658 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

Числовые наборы на карточках и досках

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 19 № 501694

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

 

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.


Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298 521705 Все

Источник: ЕГЭ — 2013, За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках
Решение · ·

2
Задание 19 № 509826

На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

3
Задание 19 № 513279

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.


Аналоги к заданию № 513279: 519638 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

4
Задание 19 № 501714

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?


Аналоги к заданию № 501714: 501756 502318 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

5
Задание 19 № 500820

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?


Аналоги к заданию № 500820: 505540 Все

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2013 по математике., Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2018 по математике. Про­филь­ный уровень.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

6
Задание 19 № 500005

На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).

 

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?

в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?


Аналоги к заданию № 500005: 500011 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

7
Задание 19 № 500017

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?


Аналоги к заданию № 500017: 514921 500452 500472 500966 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

8
Задание 19 № 500197

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

 

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?


Аналоги к заданию № 500197: 500478 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках
Решение · ·

9
Задание 19 № 505540

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?


10
Задание 19 № 514201

Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?

б) Может ли число k быть равным 11?

в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

11
Задание 19 № 514485

На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8).

а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.

б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?

в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

12
Задание 19 № 514539

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100.

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

13
Задание 19 № 514594

На проекте «Мисс Чмаровка−2016» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Изольды Кабановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.

а) Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми?

б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной 

в) Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

14
Задание 19 № 514713

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.


Аналоги к заданию № 514713: 521438 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

15
Задание 19 № 514920

Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.

Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

16
Задание 19 № 514921

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?


17
Задание 19 № 516804

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

18
Задание 19 № 517268

На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.

а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?

б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94? 

в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2017. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

19
Задание 19 № 517482

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?

в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.


Аналоги к заданию № 517482: 517489 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 431 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

20
Задание 19 № 517489

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а) Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в) Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.

Решение · ·

21
Задание 19 № 517505

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число A.

а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?

б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?

в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

22
Задание 19 № 517572

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.


Аналоги к заданию № 517572: 517579 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках
Решение · ·

23
Задание 19 № 517579

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.

Решение · ·

24
Задание 19 № 517581

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а) Может ли быть записано число 250?

б) Можно ли обойтись без числа 11?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?


Аналоги к заданию № 517581: 517583 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

25
Задание 19 № 517583

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.

а) Может ли быть записано число 230?

б) Можно ли обойтись без числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?


26
Задание 19 № 517584

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли быть 24 четных числа?

б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?


Аналоги к заданию № 517584: 517585 517435 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках

27
Задание 19 № 517585

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9, или четное, а сумма чисел равна 877.

а) Может ли быть на доске 27 четных чисел?

б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9?

в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?


28
Задание 19 № 524237

На конкурсе «Мисс−261» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Ксюши Путимцевой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.

а) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 2018?

б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной

в) Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Последовательности и прогрессии

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 19 № 501512

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.


2
Задание 19 № 502079

Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S1 = a1+a2+...+a350,

S2 = a12+a22+...+a3502,

S3 = a13+a23+...+a3503,

S4 = a14+a24+...+a3504.

Известно, что S1 = 513.

 

а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.

б) Может ли S4 = 4547 ?

в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.


Аналоги к заданию № 502079: 502099 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2013. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Центр. Ва­ри­ант 501.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

3
Задание 19 № 505663

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

4
Задание 19 № 505669

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию

а) длиной 4

б) длиной 5

в) длиной k, где k — любое натуральное число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

5
Задание 19 № 505723

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а) Найдите этот закон.

б) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число 21991 после нескольких переходов станет однозначным.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 61.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии
Решение · ·

6
Задание 19 № 505735

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;

б) вторично набор 1975;

в) набор 8197?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

7
Задание 19 № 505741

Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат

а) при n = 9,

б) при n = 11,

в) при n = 1996.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

8
Задание 19 № 505875

Есть набор чисел где Число имеет вид где — различные числа — среднее арифметическое всех чисел — целая часть от числа

а) Найти наименьшее возможное и наибольшее возможное число если

б) Найдите наименьшее при котором число больше 20.

в) Найдите при каком минимальном выполняется равенство

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

9
Задание 19 № 505977

Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….

а) Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?

б) Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?

в) Может ли в прогрессии быть 2013 членов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

10
Задание 19 № 507226

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?


11
Задание 19 № 507588

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?


12
Задание 19 № 507626

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение · ·

13
Задание 19 № 509932

Последовательность a1, a2, ..., an, ... состоит из натуральных чисел, причём при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 5a5 = 9a4?

б) Может ли выполняться равенство 5a5 = 7a4?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство


Аналоги к заданию № 509932: 509585 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии
Решение · ·

14
Задание 19 № 512876

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

15
Задание 19 № 502119

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.


Аналоги к заданию № 502119: 501512 502139 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 901.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

16
Задание 19 № 505245

Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?

б) Может ли S равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать S.


Аналоги к заданию № 505245: 505251 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

17
Задание 19 № 485960

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а) может ли в последовательности быть три члена?

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?


Аналоги к заданию № 485960: 507487 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии
Решение · ·

18
Задание 19 № 500217

Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит

а) Может ли число быть равным

б) Может ли число быть больше

в) Найдите максимально возможное значение


Аналоги к заданию № 500217: 500391 Все

Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по математике. Вто­рая волна. Ва­ри­ант 501.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

19
Задание 19 № 485958

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?


Аналоги к заданию № 485958: 507226 507626 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии
Решение · ·

20
Задание 19 № 505539

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии
Решение · ·

21
Задание 19 № 513433

Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, ..., an, ... состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a7 ровно три числа делятся на 100?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a49 ровно 11 чисел делятся на 100?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, ..., a2n больше кратных 100, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n?


Аналоги к заданию № 513433: 513452 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

22
Задание 19 № 514525

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 512 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

23
Задание 19 № 514608

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения


Аналоги к заданию № 514608: 514615 514560 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 601 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

24
Задание 19 № 514615

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения


25
Задание 19 № 514629

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 1, M2 = 2.

а) приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 1,5.

б) существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?

в) Найдите наибольшее возможное значение M3.


Аналоги к заданию № 514629: 517778 514643 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 701 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

26
Задание 19 № 515692

Конечная последовательность состоит из не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a5 = 4.

б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 3. (Часть C).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

27
Задание 19 № 515730

Конечная возрастающая последовательность состоит из натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при n = 4.

б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство

в) Какое наименьшее значение может принимать a1, если an = 667?


Аналоги к заданию № 515730: 516280 516261 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 5. (Часть C).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

28
Задание 19 № 515831

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?


29
Задание 19 № 516280

Конечная возрастающая последовательность состоит из различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при

б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство

в) Какое наименьшее значение может принимать , если ?


30
Задание 19 № 516337

Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение , если ?


Аналоги к заданию № 516337: 516304 517186 517224 524000 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

31
Задание 19 № 517778

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что

а) Приведите пример такой последовательности, для которой

б) Существует ли такая последовательность, для которой

в) Найдите наименьшее возможное значение

Решение · ·

32
Задание 19 № 520501

Последовательность a1, a2, ...,an,... состоит из натуральных чисел, причем an+2 = an+1 + an при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 4a5 = 7a4?

б) Может ли выполняться равенство 5a5 = 7a4?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство


Аналоги к заданию № 520501: 520521 520664 520705 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 19 № 505541

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

 

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?


Аналоги к заданию № 505541: 500136 500371 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

2
Задание 19 № 505597

Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи:

а) У каждого по две горошины;

б) У каждого по три горошины;

в) Общий случай: у каждого по N горошин.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
Решение · ·

3
Задание 19 № 505603

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть  

а) 34;

б) 35;

в) 56 игр?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

4
Задание 19 № 505621

Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает «тепло»; в остальных случаях Леша отвечает «холодно». (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ «тепло», а в остальных случаях услышит «холодно».)

а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.

б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).

в) А за 22 попытки получится?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

5
Задание 19 № 505869

У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.

а) При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?

б) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?

в) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки