≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Варианты заданий

Комбинации фигур

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505589

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите длину EM.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.

2
Задания Д12 C4 № 505619

В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.

а) Найдите величину угла ВАС;

б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.

3
Задания Д12 C4 № 505685

В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T. Известно, что угол BOR равен 30 градусов, RT = 8, BT = 6.

а) Докажите, что TR || AC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.

4
Задания Д12 C4 № 505691

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.


Аналоги к заданию № 505691: 505787 508157 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.

5
Задания Д12 C4 № 505697

Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.

а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а ее центр находится в вершине A квадрата ABCD.

б) Найдите угол MAN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.

6
Задания Д12 C4 № 505703

В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Вторая окружность радиуса r, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите

 

Пояснение: концентрические окружности — это окружности, у которых совпадают центры.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.

7
Задания Д12 C4 № 505733

В треугольнике АВС основание ВС = 9,5, площадь треугольника равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

а) Докажите, что АС + АВ = 3ВС.

б) Найдите меньшую из боковых сторон.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.

8
Задания Д12 C4 № 505739

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.

9
Задания Д12 C4 № 505769

Продолжение медианы AE треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке D.

а) Докажите подобие треугольников ABC и AEC, если AC = CD.

б) Найдите длину отрезка BC, если длина каждой из хорд AC и DC равна 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

10
Задания Д12 C4 № 505787

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB = 60°.


11
Задания Д12 C4 № 505793

В треугольнике KLM угол L тупой, а длина стороны KM равна 6. На окружности, описанной около треугольника KLM, лежит центр окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM.

а) Докажите, что угол KLM равен 120 градусов.

б) Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

12
Задания Д12 C4 № 505805

Окружность радиуса с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 10 и 24.

а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

б) Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.

13
Задания Д12 C4 № 505835

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.

а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.

б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.

14
Задания Д12 C4 № 505841

Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12 ). Пусть точка I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку I, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.

15
Задания Д12 C4 № 505847

Дан треугольник ABC, где BA = 5, BC = 8. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке Р. Известно, что ВР = 3. Найдите площадь треугольника ВМР, где М — точка касания окружности со стороной треугольника АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

16
Задания Д12 C4 № 505861

Дан треугольник АВС, в котором В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.

17
Задания Д12 C4 № 505885

Дан прямоугольный треугольник MNK с катетами 5 и 12. Треугольник KNJ — равносторонний, причем точка J и точка M ледат по разные стороны от прямой NK. Найдите расстояние от центра вписанной окружности в MNK до центра вписанной в KNJ окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.

18
Задания Д12 C4 № 505891

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL = 8, MN = 4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.

19
Задания Д12 C4 № 505909

Трапеция ABCD с основаниями AD = 6 и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка К, отличная от точки D так, что BK = 7. Найдите длину отрезка АК.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.

20
Задания Д12 C4 № 505927

В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.

21
Задания Д12 C4 № 505969

На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 2. Найдите основание треугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.

22
Задания Д12 C4 № 505993

В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.

23
Задания Д12 C4 № 506017

Окружности радиусов 2 и 1 касаются в точке A. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке A, а две другие лежат на разных окружностях.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

24
Задания Д12 C4 № 506023

Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них также равна 1. Найти радиус окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.

25
Задания Д12 C4 № 506029

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, угол AOC равен 60 градусов. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 31.

26
Задания Д12 C4 № 506077

На окружности радиуса 3 с центром в вершине острого угла А прямоугольного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АС = 3, ВС = 8, а треугольники АРС и АРВ равновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно, что оно больше 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

27
Задания Д12 C4 № 508089

В трапеции ABCD AD || BC, AB = 2 и E — точка пересечения биссектрисы угла BAD и прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BE в точках M и H соответственно, MH = 1.

а) Докажите, что MH || AE;

б) Найдите угол BAD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

28
Задания Д12 C4 № 508104

В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, вторая окружность касается сторон AB, BC и CD.

а) Докажите, что AB || CD;

б) Найдите АС, если r = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

29
Задания Д12 C4 № 508110

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1,

а) Докажите, что угол ADC равен

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.

30
Задания Д12 C4 № 508157

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.

а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.

б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.


31
Задания Д12 C4 № 508163

Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй — в точке С.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

32
Задания Д12 C4 № 508187

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.

а) Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М, если известно, что площадь равна  а радиус окружности равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.

33
Задания Д12 C4 № 508193

Окружность касается стороны АВ параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D.

а) Докажите, что DN = CM.

б) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

34
Задания Д12 C4 № 508641

Вокруг выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.

а) Докажите, что отношение его диагоналей выражается как

б) Найдите площадь четырехугольника, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

35
Задания Д12 C4 № 508756

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка Х лежит на его стороне AD, причем ВХ || CD и CX || BA, и DX = 6.

а) Докажите, что треугольники АВХ и ВХС подобны.

б) Найдите ВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.

36
Задания Д12 C4 № 511254

На сторонах прямоугольного треугольника ABC, как на диаметрах, построены полуокружности w, w1 и w2. (рис.).

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями w и w1 и полуокружностями w и w2.

б) Пусть прямая l касается w1 в точке M, а w2 в точке P. Найдите длину отрезка MP, если известно, что сумма площадей двух луночек равна 49.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

37
Задания Д12 C4 № 511261

Четырехугольник ABDC вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.

а) Докажите, что AD · BP = BC · DP.

б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD = 2 · AC, а площадь четырехугольника ABDC равна 36.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.

38
Задания Д12 C4 № 511268

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

39
Задания Д12 C4 № 511282

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K — точки касания этой окружности с боковыми сторонами AD и BC. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°.

а) Докажите, что EK параллельно AB.

б) Найдите площадь трапеции ABKE, если радиус окружности равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

40
Задания Д12 C4 № 511879

Через вершины А и С прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) проведена окружность с центром в точке О, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.

а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.

б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE = 5, AC = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.

41
Задания Д12 C4 № 511886

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

42
Задания Д12 C4 № 511918

В прямоугольном треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВК. Известно, что около четырехугольника АВМК можно описать окружность.

А) Докажите, что СК = СМ.

Б) Пусть АВ = 2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

43
Задания Д12 C4 № 512461

Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.

а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.

б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

44
Задания Д12 C4 № 512664

Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены  перпендикуляры MK и MP соответственно.  

а) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K

б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а радиус окружности равен 4. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.

45
Задания Д12 C4 № 512672

В ромб вписана окружность Θ. Окружности w1 и w2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности Θ и двух соседних сторон ромба. 

а) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба.

б) Найдите отношение радиусов окружностей w1 и w2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1 : 2. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

46
Задания Д12 C4 № 513255

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.


Аналоги к заданию № 513255: 514720 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

47
Задания Д12 C4 № 508116

В треугольнике ABC точка О — центр описанной окружности, точка K лежит на отрезке BC, причем BК = КC. Описанная около треугольника BKO окружность пересекает AB в точке T.

а) Докажите, что TK || АС.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOK равен 30°, КT = 8, ВТ = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

48
Задания Д12 C4 № 513766

Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки А, если стороны AB и АС равны соответственно 5 и 2. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.

49
Задания Д12 C4 № 513773

В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCDP — точка пересечения его диагоналей, AB = CD = 5, AD > BC. Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 

а) Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция 

б) Найдите стороны ADBC и радиус окружности R.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

50
Задания Д12 C4 № 513780

Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9.  

а) Докажите, что BE > BD.

б) Найдите диагональ BD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

51
Задания Д12 C4 № 514028

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.

а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.

б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?


Аналоги к заданию № 514028: 514047 Все


52
Задания Д12 C4 № 514061

В равнобокую трапецию вписана окружность. 

а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним  геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

53
Задания Д12 C4 № 514068

а) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в  треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

54
Задания Д12 C4 № 514075

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM.

б) Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM = 12, BM = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

55
Задания Д12 C4 № 514373

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основанеи AD в точке P. Докажите, что

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.


Аналоги к заданию № 514373: 519901 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

56
Задания Д12 C4 № 514374

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а


Аналоги к заданию № 514374: 519902 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

57
Задания Д12 C4 № 514626

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.

а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.

б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — середина дуги MB.


Аналоги к заданию № 514626: 514640 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 701 (C часть).

58
Задания Д12 C4 № 514720

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение · ·

59
Задания Д12 C4 № 521474

Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС.

На луче АО отмечена точка М так, что

а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М.

б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что и ВС = 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 213.

60
Задания Д12 C4 № 521481

В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.

а) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.

б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВАС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 214.

61
Задания Д12 C4 № 521495

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.

а) Докажите, что ВА — биссектриса угла КВС.

б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 216.

62
Задания Д12 C4 № 521695

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса отсекающая от прямой ВС отрезок и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F.

а) Докажите AF = BF.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 227.

63
Задания Д12 C4 № 521824

Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС.

а) Докажите, что АЕ = ЕD.

б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4, Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 235.

64
Задания Д12 C4 № 521910

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О — центр описанной окружности, точка К — середина ВС.

а) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.

б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 237.

65
Задания Д12 C4 № 521917

В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН — высота трапеции, Е — точка пересечения диагоналей.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что BC = 9, AD = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 238.

66
Задания Д12 C4 № 521925

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.

а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD = 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 239.

Многоугольники

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505613

В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка L лежит на основании BC.

а) Докажите, что прямая MK проходит через середину стороны AB.

б) Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.

2
Задания Д12 C4 № 505625

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

3
Задания Д12 C4 № 505649

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.

а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.

б) Найдите длину отрезка MN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

4
Задания Д12 C4 № 505775

В трапеции ABCD AD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей.

а) Докажите, что выполняется равенство

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.

5
Задания Д12 C4 № 505811

Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.

а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а её центр находится на вершине A квадрата ABCD.

б) Найдите угол MAN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.

6
Задания Д12 C4 № 505817

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно.

а) Докажите, что точка E есть центр вневписанной окружности для треугольников OCB, где O — точка пересечения прямых CD и AB.

б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а площадь треугольника BCE равна 11.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.

7
Задания Д12 C4 № 505897

В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.

8
Задания Д12 C4 № 505933

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что Найдите BC, если AB = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.

9
Задания Д12 C4 № 505945

В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM = 10 и Найдите диагональ LN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.

10
Задания Д12 C4 № 505957

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.

11
Задания Д12 C4 № 505963

Площадь равнобедренной трапеции равна Угол между диагональю и основанием на 20 градусов больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.

12
Задания Д12 C4 № 505981

Дан параллелограмм ABCD. Точка M лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 2 : 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCM равна 60.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.

13
Задания Д12 C4 № 505999

Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18. Найдите основания этой трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.

14
Задания Д12 C4 № 506071

Диагонали трапеции равны 13 и а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.

15
Задания Д12 C4 № 506083

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

16
Задания Д12 C4 № 508139

В трапеции ABCD ВС и AD — основания. Биссектриса угла А пересекает сторону CD в ее середине — точке Р.

а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

17
Задания Д12 C4 № 508175

Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

18
Задания Д12 C4 № 508205

Пусть О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOА равны между собой.

А) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.

19
Задания Д12 C4 № 508634

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.

а) Докажите, что BH = DH.

б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

20
Задания Д12 C4 № 508648

Трапеция ABCD с углами при одном основании и описана около круга.

а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции если а площадь вписанного круга равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

21
Задания Д12 C4 № 511264

В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.

а) Найдите длины этих отрезков.

б) Докажите, что KL < MN < RS < TQ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.

22
Задания Д12 C4 № 511275

В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.

а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

23
Задания Д12 C4 № 511839

В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали АС и BDвзаимно перпендикулярны, а ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K.

А) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.

Б) Найдите площадь треугольника AD, если известно, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

24
Задания Д12 C4 № 511864

В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм.

а) Докажите, что ABCD — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

25
Задания Д12 C4 № 511893

В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов.

А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны.

Б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами, если известно, что стороны параллелограмма равны 3 и 5 , а угол параллелограмма равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

26
Задания Д12 C4 № 512454

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOB и COD равны.

а) Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой ВС.

б) Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

27
Задания Д12 C4 № 505903

Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB — в точке M. Найдите если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.

28
Задания Д12 C4 № 505921

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.

29
Задания Д12 C4 № 506035

В ромбе ABCD со стороной 2 и углом 60° проведены высоты CM и DK. Найдите длину отрезка MK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.

30
Задания Д12 C4 № 508747

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.

а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок на три равных части;

б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

31
Задания Д12 C4 № 514054

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части. 

а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АNBM и BD равна 16. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

32
Задания Д12 C4 № 514577

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD.

б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6, BD = 8, а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

33
Задания Д12 C4 № 521384

В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне AD.

а) Докажите, что прямая СD касается окружности ω, описанной около треугольника АВD.

б) Пусть прямая СВ вторично пересекает ω в точке К. Найдите КD : AC при условии, что угол ВDA равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204.

34
Задания Д12 C4 № 521391

Дана трапеция ABCD с основаниями АD и . Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках Р и К.

а) Докажите, что прямые РК и ВС перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АD = 20, BC = 6, AB = 16, DC = 14.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 205.

35
Задания Д12 C4 № 521401

Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой.

а) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О — центр шестиугольника).

б) Найдите отношение АМ : АС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 206.

36
Задания Д12 C4 № 521408

В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р, АB = PD.

а) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС.

б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 2 см, ВС = 3 см.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 207.

37
Задания Д12 C4 № 521427

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = KO.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 209.

38
Задания Д12 C4 № 521435

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 210.

39
Задания Д12 C4 № 521442

а) Докажите, что сумма углов А, В, С, D, E в вершинах произвольной 5‐конечной везды равна 180° (рис.1).

б) Найдите площадь 5‐конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис. 2).

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 211.

40
Задания Д12 C4 № 521450

В треугольнике АВС точка М — середина АС.

а) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС.

б) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 212.

41
Задания Д12 C4 № 521502

В трапеции ABCD BC||AD, . Прямая, перпендикулярная

стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N.

а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM

б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, ВN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 217.

42
Задания Д12 C4 № 521545

Два борта бильярдного стола образуют угол 7°, как указано на рисунке. На столе лежит бильярдный шар A, который катится без трения в сторону одного из бортов под углом 113°. Отражения от бортов абсолютно упругие. Сколько раз шар отразится от бортов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 218.

43
Задания Д12 C4 № 521552

На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и

а) Докажите подобие треугольников АВС и АКС;

б) Найдите DP.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 219.

44
Задания Д12 C4 № 521760

Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в точке К, а окружность во второй раз в точке F.

а) Докажите, что DK = DF.

б) Найдите КС, если BF = 20, DF = 21.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 230.

45
Задания Д12 C4 № 521767

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ = ВС.

а) Докажите, что ВК = КE.

б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ = 13, АЕ = 7, АD = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 231.

Окружности

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505595

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.

2
Задания Д12 C4 № 505601

Точки A, B, C лежат на окружности радиуса 2 с центром O, а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B, причем угол AKC равен 46°, а длины отрезков AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию ( в указанном порядке).

а) Докажите, что углы ACK и AOK равны.

б) Найдите расстояние между точками A и C.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.

3
Задания Д12 C4 № 505607

В четырехугольнике ABCD,вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 2.

а) Доказать, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны.

б) Найти отношение площадей треугольников ADE и BCE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.

4
Задания Д12 C4 № 505637

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка CE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.

5
Задания Д12 C4 № 505643

Через вершины B и C треугольника ABC проходит окружность, пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках K и M.

а) Доказать, что треугольники ABC и AMK подобны.

б) Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.

6
Задания Д12 C4 № 505661

В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM равна 6. Центр O окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM лежит на окружности, описанной около треугольника KLM.

а) Докажите, что угол KOM равен 120°.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.

7
Задания Д12 C4 № 505667

Две окружности с центрами O и Q пересекаются друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причем площади треугольников OAE и QAE равны соответственно 18 и 42.

а) Докажите, что треугольники AQO и BDC подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.

8
Задания Д12 C4 № 505679

В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке E, причем касательная к окружности, проходящая через точку A, параллельна BD. Известно, что CD : ED = 3 : 2, а площадь треугольника ABE равна 8.

а) Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

9
Задания Д12 C4 № 505781

Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.

а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.

б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

10
Задания Д12 C4 № 505799

Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B. На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка С. Из точки С на прямые OA, OB и AB опущены перпендикуляры соответственно CK, CL и CM.

а) Докажите подобие треугольников AKC и BMC, AMC и BLC.

б) Найдите CM, если CK = 4, CL = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.

11
Задания Д12 C4 № 505867

Две окружности касаются в точке O, причем радиус окружности с центром в точке O' больше, чем радиус окружности с центром в точке O''. Прямая O'O'' пересекает меньшую окружность в точке K (K отлично от O). Отрезок O'K = a. Прямая t касается большей окружности в точке P так, что угол O''O'P — прямой. Отрезок PK = b. Найдите площадь треугольника OO'P.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.

12
Задания Д12 C4 № 505879

В системе координат задана точка M (x; y), x > 0, y > 0. Дана окружность с центром в точке M радиуса r, причем любая точка окружности имеет положительные координаты. Прямая, проходящая через точку O (0; 0) и через точку M, пересекает окружность в точках K и P, причем ордината точки K меньше, чем ордината точки P. Прямая, которая касается окружности в точке K, пересекает прямые x = 0 и y = 0 в точках A и B.

Найдите площадь треугольника OKB.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.

13
Задания Д12 C4 № 505939

В окружности проведены хорды KL, MN, PS. Хорды KL, PS пересекаются в точке С, хорды KL, MN пересекаются в точке А, хорды MN и PS пересекаются в точке В, причем AL = CK, AM = BN, BS = 5, BC = 4. Найдите радиус окружности, если величина угла ВАС равна 45 градусам.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

14
Задания Д12 C4 № 505975

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и прямой, проходящей через центры данных.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.

15
Задания Д12 C4 № 505987

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен 25, а вписанной в него окружности — 12. Найдите стороны треугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 24.

16
Задания Д12 C4 № 506041

Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки A и B — точки касания). Найдите расстояние между точками A и B.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.

17
Задания Д12 C4 № 508133

Биссектрисы AN и BMтреугольника ABC пересекаются в точке О, причем В четырехугольник ONCM вписана окружность.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

18
Задания Д12 C4 № 508603

CA и СВ — касательные к окружности в точках А и В соответственно, АD — её диаметр. Прямые ВD и АС пересекаются в точке E.

А) Докажите, что точка С – середина отрезка АЕ.

Б) Найдите сумму радиусов окружностей, вписанных в  треугольники ABEABD и AED, если известно, что ВA = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.

19
Задания Д12 C4 № 510102

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.


Аналоги к заданию № 510102: 519906 Все

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С)., За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
Решение · ·

20
Задания Д12 C4 № 511108

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей их этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Решение · ·

21
Задания Д12 C4 № 511233

К двум окружностям с центрами O1 и O2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.

а) Докажите, что около четырехугольника O1AO2B можно описать окружность.

б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O1O2 = 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

22
Задания Д12 C4 № 511247

Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем ∠CMA = ∠DMB.

а) Докажите, что ∠OCM = ∠ODM.

б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

23
Задания Д12 C4 № 511832

Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K.

А) Докажите, что угол CKD равен углу KMD.

Б) Найдите сторону AB, зная, что AD = 18, DM = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

24
Задания Д12 C4 № 511900

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей.

а) Докажите, что точки DВ и С лежат на одной прямой.

б) Найдите произведение  АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

25
Задания Д12 C4 № 512004

Окружность ω1 с центром O1 и окружность ω2 с центром O2 касаются внешним образом. Из точки O1 к ω2 проведена касательная O1A, а из точки O2 к ω1 проведена касательная O1B (А и В — точки касания).

А) Докажите, что углы O1AB и O1O2B равны.

Б) Найдите площадь четырехугольника O1O2AB, если известно, что точки касания А и В лежат по одну сторону от прямой O1O2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

26
Задания Д12 C4 № 513207

В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.

а) Докажите, что DC2 = АС ∙ СО.

б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что AB : ВО = 3 : 1, а площадь треугольника АСD равна 36.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

27
Задания Д12 C4 № 513221

Две окружности касаются внутренним образом в точке А так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке K. Прямые AB и АС вторично пересекают меньшую окружность в точках P и M соответственно.

а) Докажите, что PM || BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если PM = 12, а радиус большей окружности равен 20. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

28
Задания Д12 C4 № 504243

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.


Аналоги к заданию № 504243: 510365 Все

Раздел: Планиметрия

29
Задания Д12 C4 № 505715

Продолжение общей хорды AB двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке C, точка A лежит между B и C, а M и N — точки касания.

а) Докажите, что отношение расстояний от точки C до прямых AM и AN равно

б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, M и N.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 60.

30
Задания Д12 C4 № 505823

На диаметре AB полукруга взята точка С и в полукруге на отрезках AC и CB как на диаметрах построены два полукруга. Из точки C восставлен препендикуляр к AB и с обеих сторон от него построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра, так и обоих полукругов.

а) Докажите, что радиусы построенных кругов равны.

б) Найдите их радиусы, если AB = 12 и AC : CD = 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

31
Задания Д12 C4 № 506047

Две окружности касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите радиус меньшей окружности, если известно, что длины отрезков AM = 28, MB = 4, а радиус большей окружности равен 20.


Аналоги к заданию № 506047: 505951 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.

32
Задания Д12 C4 № 513794

Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом. A1A2 и B1B2 — их общие внешние касательные (A1 и B1 — точки касания с ω1, A2 и B2 — точки касания с ω2).

а) Докажите, что расстояние между хордами A1B1 и A2B2 равно среднему гармоническому диаметров окружностей. (средним  гармоническим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 

б) Найдите площадь четырехугольника A1А2B2В1, если радиусы окружностей равны соответственно 9 и 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.

33
Задания Д12 C4 № 514591

Точка O — середина отрезка AC. На отрезках AC и AO, как на диаметрах, построены две окружности. Хорда CK одной из них касается другой окружности в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника AKC, если известно. что OC = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

34
Задания Д12 C4 № 514598

Три окружности, две из которых одинакового радиуса, попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус круга, вписанного в четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, O, если известно, что радиусы окружностей 6; 6 и 4, а точка O — центр меньшей из них.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

35
Задания Д12 C4 № 521334

Дана окружность. Продолжения диаметра АВ и хорды РК пересекаются под углом 30° в точке С. Известно, что СВ : АВ = 1 : 4; АК пересекает ВР в точке Т.

 

а) Докажите, что АР : АТ = 3 : 4.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, Р и К, если радиус окружности равен 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 201.

36
Задания Д12 C4 № 521356

Окружности с центрами в точках А, В и С и радиусами, равными а, b и с соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка К, М, Р.

а) Докажите, что отношение площади треугольника КМР к площади треугольника АВС равно .

 

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника КМР, если известно, что а = 6, b = 7, с = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 203.

37
Задания Д12 C4 № 521488

Две окружности касаются внутренним образом в точке K. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке L.

а) Докажите, что KL — биссектриса угла AKB.

б) Найдите длину отрезка KL, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол АKB равен 90°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 215.

38
Задания Д12 C4 № 521559

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй — в точке N.

а) Докажите что расстояние от точки К до прямой р равно

б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 220.

Треугольники

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505655

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

2
Задания Д12 C4 № 505727

Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.

a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.

б) Найдите площадь треугольника BLK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.

3
Задания Д12 C4 № 505745

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.

4
Задания Д12 C4 № 505757

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и CA отложены соответсвенно отрезки

а) Докажите, что где

б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

5
Задания Д12 C4 № 505763

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

6
Задания Д12 C4 № 505829

В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей. описанных около треугольников BDC и ADC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.

7
Задания Д12 C4 № 505873

Дан треугольник АВС, в котором АС = СВ, а синус угла С равен 1. Треугольник ABD — равнобедренный, с боковой стороной равной 10. Найдите площадь треугольника АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.

8
Задания Д12 C4 № 505915

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

9
Задания Д12 C4 № 506011

Найти длины сторон AB и AC треугольника ABC, если BC = 8, а длины высот, проведенных к AC и BC, равны соответственно 6,4 и 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.